2.2 2^a Prova-05 de outubro de 2007

  1. Considere a circunferência x^2+y^2=4. Se um ponto P desta circunferência, no 1^circ quadrante, é tal que o segmento O P faz um ângulo de 75^circ com o eixo dos x, prove que a tangente ao círculo nesse ponto faz um ângulo de 25^circ com aquele eixo.
    [Sugestão: Use diferenciação implícita]

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^2+y^2=4
e um ponto P no primeiro quadrante tal que o raio OP faz um ângulo de 75^circ com o eixo x. Queremos achar o ângulo que a reta tangente à circunferência em P forma com o eixo x. A sugestão é usar diferenciação implícita para obter a inclinação da tangente.

Passo 2

Diferenciando implicitamente x^2+y^2=4 em relação a x temos
2x + 2y,dydx = 0
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dydx = -xy
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente em qualquer ponto (x,y) da circunferência.

Passo 3

Como OP faz ângulo de 75^circ com o eixo x, podemos escrever as coordenadas de P como
x = 2cos75^circ, y = 2sin75^circ
Substituindo em m = -x/y obtemos
m = -2cos75^circ2sin75^circ = -cot75^circ = -tan15^circ

Passo 4

Chamemos phi o ângulo orientado que a tangente faz com o eixo x. Então
tanphi = m = -tan15^circ
Isso significa phi = -15^circ (reta descendo para a direita), mas o ângulo agudo entre a tangente e o eixo x é
|phi| = 15^circ

Passo 5

Concluímos que, para o ponto P dado, a tangente faz um ângulo de 15^circ com o eixo x. Portanto, o valor de 25^circ indicado no enunciado não bate com o cálculo — o resultado correto é 15^circ.

Resposta

A tangente faz um ângulo de 15^circ com o eixo x.

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