Prova-05 de outubro de 2007
- Considere a circunferência
. Se um ponto
desta circunferência, no
quadrante, é tal que o segmento
faz um ângulo de
com o eixo dos
, prove que a tangente ao círculo nesse ponto faz um ângulo de
com aquele eixo.
[Sugestão: Use diferenciação implícita]
[Sugestão: Use diferenciação implícita]
Passo 1
O enunciado dá a circunferência
e um ponto
no primeiro quadrante tal que o raio
faz um ângulo de
com o eixo
. Queremos achar o ângulo que a reta tangente à circunferência em
forma com o eixo
. A sugestão é usar diferenciação implícita para obter a inclinação da tangente.
Passo 2
Diferenciando implicitamente
em relação a
temos
logo
Esse é o coeficiente angular
da reta tangente em qualquer ponto
da circunferência.
Passo 3
Como
faz ângulo de
com o eixo
, podemos escrever as coordenadas de
como
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Chamemos
o ângulo orientado que a tangente faz com o eixo
. Então
Isso significa
(reta descendo para a direita), mas o ângulo agudo entre a tangente e o eixo
é
Passo 5
Concluímos que, para o ponto
dado, a tangente faz um ângulo de
com o eixo
. Portanto, o valor de
indicado no enunciado não bate com o cálculo — o resultado correto é
.
Resposta
A tangente faz um ângulo de
com o eixo
.