[G] Calcule uma equação da reta tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
f(x)=e^x^2+1+x^2 em x=1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^x^2+1+x^2
e pede a reta tangente ao seu gráfico no ponto em que x=1. Para isso precisamos de dois ingredientes: o valor de f(1) e a derivada f'(x) avaliada em x=1.

Passo 2

Calcular o valor de f em x=1:
f(1)=e^1^2+1+1^2=e^2+1

Passo 3

Determinar a derivada de f. Usando regra da cadeia em e^x^2+1 e derivada de x^2, temos
f'(x)=l(e^x^2+1r)';+;(x^2)' =2x,e^x^2+1+2x =2xl(e^x^2+1+1r)

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=1:
f'(1)=2cdot1l(e^1^2+1+1r) =2l(e^2+1r)

Passo 5

Escrevendo a equação da reta tangente em forma ponto-declive y-f(1)=f'(1),(x-1), obtemos
y-(e^2+1)=2(e^2+1),(x-1)
Isolando y, por exemplo,
y=2(e^2+1),x-l(e^2+1r) =(e^2+1),(2x-1)

Resposta

A reta tangente é
y-(e^2+1)=2(e^2+1),(x-1),
ou equivalentemente
y=(e^2+1),(2x-1)

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