[G] Calcule uma equação da reta tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
f(x)=(cos x+x)^5+1 em x=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = (cos x + x)^5 + 1
e pede a reta tangente ao gráfico de f no ponto em que x=0. Para isso vamos precisar de f(0) e de f'(0), pois a equação da reta tangente é
y - f(0) = f'(0),(x - 0)

Passo 2

Primeiro calculamos f(0):
f(0) = (cos 0 + 0)^5 + 1 = (1 + 0)^5 + 1 = 1 + 1 = 2
Agora a derivada f'(x) usando a regra da cadeia. Sejam g(x)=cos x + x, então f(x)=g(x)^5+1. Logo
f'(x) = 5,g(x)^4,g'(x)
e
g'(x) = -sin x + 1
Portanto
f'(x) = 5,(cos x + x)^4,(-sin x + 1)
Em x=0 temos cos0=1, sin0=0, logo
f'(0) = 5,(1 + 0)^4,( -0 + 1) = 5

Passo 3

Substituindo em
y - f(0) = f'(0),x
ficamos com
y - 2 = 5,x
e daí
y = 5x + 2

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 5x + 2

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