[G] Calcule uma equação da reta tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
f(x)=2 x^2+x em x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=2x^2+x no ponto em que x=1. Para isso, precisamos de dois ingredientes: a inclinação da reta, dada pela derivada f'(x) avaliada em x=1, e o ponto de tangência l(1,f(1)r).

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Como f(x)=2x^2+x, usamos as regras de potência e soma:
f'(x)=ddx(2x^2)+ddx(x) =2cdot 2x^1+1 =4x+1

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=1 para obter a inclinação m:
m=f'(1)=4cdot 1+1=5

Passo 4

Precisamos também das coordenadas do ponto de tangência. Como x=1, calculamos
f(1)=2cdot(1)^2+1=2+1=3,
logo o ponto é l(1,3r).

Passo 5

A equação da reta em forma ponto-inclinação é
y - y0=m,(x - x0),
substituindo m=5 e (x0,y0)=(1,3):
y-3=5,(x-1)
Se quisermos o formato explícito, basta distribuir:
y-3=5x-5 Longrightarrow y=5x-2

Resposta

A equação da reta tangente é
y=5x-2

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