Questão 6. Uma startup desenvolveu um modelo matemático para avaliar o índice de risco ajustado ao crescimento de seus investimentos, dado pela função
Q(x)=1+x+x^2+x e^x1-x+x^2-x e^x
em que x representa o nível percentual de investimento em tecnologia verde, variando em torno de zero (com x=0 representando nenhum investimento adicional nesse setor).
A startup deseja entender a variação inicial do índice de risco ao começar a investir nesse setor, ou seja, o ritmo de crescimento do índice quando x=0.
a) Calcule Q^prime(0).
b) Interprete o resultado no contexto apresentado.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
Q(x)=1 + x + x^2 + x e^x1 - x + x^2 - x e^x
e pede a derivada Q'(0). Para isso vamos usar a regra do quociente: se
Q(x)=N(x)D(x),
então
Q'(x)=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)[D(x)]^2

Passo 2

Definimos numerador e denominador e calculamos seus valores e derivadas em x=0.
N(x)=1 + x + x^2 + x e^x,
D(x)=1 - x + x^2 - x e^x
Logo
N(0)=1, D(0)=1
Agora as derivadas:
N'(x)=1 + 2x + e^x(1 + x),
D'(x)=-1 + 2x - e^x(1 + x)
Em x=0:
N'(0)=1 + 0 + e^0(1+0)=2, D'(0)=-1 + 0 - e^0(1+0)=-2

Passo 3

Aplicando a regra do quociente em x=0:
Q'(0) =N'(0),D(0)-N(0),D'(0)[D(0)]^2 =2cdot1 - 1cdot(-2)1^2 =4

Passo 4

O valor Q'(0)=4 significa que, no ponto em que não há investimento adicional em tecnologia verde ( x=0), um aumento infinitesimal em x (por exemplo, 1 ponto percentual a mais) provoca crescimento inicial de cerca de 4 unidades no índice Q. Em outras palavras, a sensibilidade inicial do índice de risco ajustado ao crescimento em relação ao investimento em tecnologia verde é alta e positiva.

Resposta

a) ,Q'(0)=4
b) Isso indica que, a partir de zero investimento extra em tecnologia verde, cada incremento de 1% em x aumenta o índice Q em aproximadamente 4 unidades no início.

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