Calcule a equação da reta tangente a y no ponto (1, 1+raiz52)
x^3+x y(x)-y(x)^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a equação da reta tangente à curva definida por $ x^{3} + x y(x) - y(x)^{2} = 0 $ no ponto $ \left(1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente quando a equação não está isolada em $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. Em um ponto da curva, a reta tangente é aquela que toca a curva naquele ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele exato lugar. Para encontrar essa reta, precisamos saber duas coisas: um ponto pela qual ela passa (que já temos) e a inclinação dela, que é a derivada da função no ponto.

Passo 3

Como a equação está em forma implícita (ou seja, $ y $ não está isolada), vamos usar a derivada implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é uma função de $ x $.

Passo 4

Vamos derivar cada termo da equação $ x^{3} + x y(x) - y(x)^{2} = 0 $:
  1. A derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} $.
  2. A derivada de $ x y(x) $ usa a regra do produto: $ \frac{d}{dx}(x y) = y + x \frac{dy}{dx} $.
  3. A derivada de $ y(x)^{2} $ usa a regra da cadeia: $ \frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y \frac{dy}{dx} $.
Então, derivando a equação:
x^3 + x y(x) - y(x)^2 = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $, que é a inclinação da reta tangente:
dydx
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
x dydx - 2y dydx = -3x^2 - y
Então,
dydx

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{dx} $ no ponto $ \left(1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ na expressão:
dydx
Simplificando o denominador:
(1, 1+raiz52)
Então,
x = 1

Passo 7

Agora que temos a inclinação $ m = \frac{5 + 7\sqrt{5}}{10} $, podemos usar a fórmula da reta tangente:
m = 5 + 7raiz510
Substituindo $ x_{0} = 1 $, $ y_{0} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ e $ m = \frac{5 + 7\sqrt{5}}{10} $:
y - y0 = m (x - x0)

Resposta

A equação da reta tangente é:
y - 1+raiz52 = 5 + 7raiz510 (x - 1)

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