Calcule a equação da reta tangente a
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a equação da reta tangente à curva definida por $ x^{3} + x y(x) - y(x)^{2} = 0 $ no ponto $ \left(1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente quando a equação não está isolada em $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. Em um ponto da curva, a reta tangente é aquela que toca a curva naquele ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele exato lugar. Para encontrar essa reta, precisamos saber duas coisas: um ponto pela qual ela passa (que já temos) e a inclinação dela, que é a derivada da função no ponto.
Passo 3
Como a equação está em forma implícita (ou seja, $ y $ não está isolada), vamos usar a derivada implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é uma função de $ x $.
Passo 4
Vamos derivar cada termo da equação $ x^{3} + x y(x) - y(x)^{2} = 0 $:
- A derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} $.
- A derivada de $ x y(x) $ usa a regra do produto: $ \frac{d}{dx}(x y) = y + x \frac{dy}{dx} $.
- A derivada de $ y(x)^{2} $ usa a regra da cadeia: $ \frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y \frac{dy}{dx} $.
Então, derivando a equação:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $, que é a inclinação da reta tangente:
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \frac{dy}{dx} $ no ponto $ \left(1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ na expressão:
Simplificando o denominador:
Então,
Passo 7
Agora que temos a inclinação $ m = \frac{5 + 7\sqrt{5}}{10} $, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo $ x_{0} = 1 $, $ y_{0} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ e $ m = \frac{5 + 7\sqrt{5}}{10} $:
Resposta
A equação da reta tangente é: