Usando LHopital
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para resolver usando a Regra de L’Hôpital. O exercício é:
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente um limite que envolve uma expressão exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar expressões desse tipo em uma forma que a Regra de L’Hôpital possa ser aplicada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa expressão complicada. Quando temos uma função levantada a outra função, uma boa estratégia é transformar isso usando logaritmos naturais. Então, vamos chamar o nosso limite de $ L $:
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para facilitar:
Agora, nosso objetivo é encontrar o valor de $ \ln L $, e depois exponenciar para obter $ L $.
Passo 3
Vamos analisar o que acontece com cada parte dessa expressão quando $ x $ se aproxima de 0 por valores positivos.
- No numerador da fração fora do logaritmo: $ x + 2 $ tende a 2.
- No denominador: $ 5x^{2} - 10x $ tende a 0.
- Dentro do logaritmo: $ \frac{x^{2}+2x-1}{x+1} $.
Vamos simplificar essa última parte:
Para $ x $ próximo de 0, o denominador $ x + 1 $ tende a 1, e o numerador $ x^{2} + 2x - 1 $ tende a $ -1 $. Então, a expressão dentro do logaritmo tende a $ -1 $.
Mas o logaritmo de um número negativo não está definido nos números reais, então precisamos olhar mais de perto o comportamento dessa expressão.
Passo 4
Na verdade, ao aproximar $ x $ de 0, percebemos que:
Isso mostra que, conforme $ x $ tende a 0, a expressão dentro do logaritmo tende a $ -1 $, mas estamos olhando para limites direitamente. Portanto, vamos considerar que a base está se aproximando de um valor negativo, o que sugere que estamos lidando com uma situação onde precisamos considerar limites logarítmicos cuidadosos.
Passo 5
Vamos reescrever a expressão para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Sabemos que:
Isso coloca nossa expressão no formato $ \frac{0}{0} $, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando $ x $ se aproxima de 0. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 6
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Primeiro, o numerador:
Usando a regra da cadeia e a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, o denominador:
Derivando:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Vamos simplificar essa fração complexa multiplicando pelo inverso:
Passo 8
Agora, substituindo $ x = 0 $ na expressão simplificada:
Então, $ \ln L = \frac{3}{5} $.
Resposta
Finalmente, para encontrar $ L $, usamos a exponenciação:
Portanto,