Usando LHopital
lim x 0^+(x^2+2 x-1x+1)^x+25 x^2-10 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para resolver usando a Regra de L’Hôpital. O exercício é:
lim x 0^+(x^2+2 x-1x+1)^x+25 x^2-10 x
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente um limite que envolve uma expressão exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar expressões desse tipo em uma forma que a Regra de L’Hôpital possa ser aplicada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa expressão complicada. Quando temos uma função levantada a outra função, uma boa estratégia é transformar isso usando logaritmos naturais. Então, vamos chamar o nosso limite de $ L $:
L
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para facilitar:
L = lim x 0^+(x^2+2x-1x+1)^x+25x^2-10x
Agora, nosso objetivo é encontrar o valor de $ \ln L $, e depois exponenciar para obter $ L $.

Passo 3

Vamos analisar o que acontece com cada parte dessa expressão quando $ x $ se aproxima de 0 por valores positivos.
  • No numerador da fração fora do logaritmo: $ x + 2 $ tende a 2.
  • No denominador: $ 5x^{2} - 10x $ tende a 0.
  • Dentro do logaritmo: $ \frac{x^{2}+2x-1}{x+1} $.
Vamos simplificar essa última parte:
x
Para $ x $ próximo de 0, o denominador $ x + 1 $ tende a 1, e o numerador $ x^{2} + 2x - 1 $ tende a $ -1 $. Então, a expressão dentro do logaritmo tende a $ -1 $.
Mas o logaritmo de um número negativo não está definido nos números reais, então precisamos olhar mais de perto o comportamento dessa expressão.

Passo 4

Na verdade, ao aproximar $ x $ de 0, percebemos que:
x
Isso mostra que, conforme $ x $ tende a 0, a expressão dentro do logaritmo tende a $ -1 $, mas estamos olhando para limites direitamente. Portanto, vamos considerar que a base está se aproximando de um valor negativo, o que sugere que estamos lidando com uma situação onde precisamos considerar limites logarítmicos cuidadosos.

Passo 5

Vamos reescrever a expressão para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Sabemos que:
ln L = lim x 0^+ ln(x^2+2x-1x+1)5x^2-10xx+2
Isso coloca nossa expressão no formato $ \frac{0}{0} $, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando $ x $ se aproxima de 0. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 6

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Primeiro, o numerador:
f(x) = ln(x^2+2x-1x+1)
Usando a regra da cadeia e a regra do quociente:
f'(x) = (2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x - 1)(1)(x^2 + 2x - 1)(x + 1)
Simplificando:
f'(x) = (2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 1)(x + 1)
= 2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x + 1(x^2 + 2x - 1)(x + 1)
= x^2 + 2x + 3(x^2 + 2x - 1)(x + 1)
Agora, o denominador:
g(x) = 5x^2 - 10xx + 2
Derivando:
g'(x) = (10x - 10)(x + 2) - (5x^2 - 10x)(1)(x + 2)^2
Simplificando:
= 10x^2 + 20x - 10x - 20 - 5x^2 + 10x(x + 2)^2
= 5x^2 + 20x - 20(x + 2)^2

Passo 7

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
ln L = lim x 0^+ f'(x)g'(x) = lim x 0^+ x^2 + 2x + 3(x^2 + 2x - 1)(x + 1)5x^2 + 20x - 20(x + 2)^2
Vamos simplificar essa fração complexa multiplicando pelo inverso:
= lim x 0^+ x^2 + 2x + 3(x^2 + 2x - 1)(x + 1) cdot (x + 2)^25x^2 + 20x - 20

Passo 8

Agora, substituindo $ x = 0 $ na expressão simplificada:
x = 0
Então, $ \ln L = \frac{3}{5} $.

Resposta

Finalmente, para encontrar $ L $, usamos a exponenciação:
L
Portanto,
L = e^ln L = e^35

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