Dado o ponto P(1 ; 0 ; 5) e o plano \pi_{1}: 3 x-y+2 z-11=0, responda as seguintes questões:
a) Obtenha o ponto Q que é a projeção ortogonal de P sobre o plano dado.
b) Obtenha o ponto simétrico de P em relação ao plano dado.
Passo 1
O enunciado dá o ponto P(1;0;5) e o plano \pi_{1}: 3x-y+2z-11=0. As perguntas são:
a) Obter o ponto Q que é a projeção ortogonal de P sobre o plano \pi_{1}.
b) Obter o ponto simétrico de P em relação ao plano \pi_{1}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Coordenadas do ponto P: (1,0,5).
Equação do plano: 3x-y+2z-11=0, cujos coeficientes podem ser usados diretamente como vetor normal do plano.
Passo 2
Entendimento do método (passo-a-passo didático): para projetar ortogonalmente um ponto num plano e para encontrar o simétrico, usamos a direção do vetor normal do plano. Seja o plano escrito como
ax+by+cz+d=0.
O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). A projeção ortogonal do ponto P=(x_0,y_0,z_0) sobre o plano é obtida movendo P ao longo da direção de \mathbf{n} até atingir o plano. Isso pode ser feito com a fórmula
s=\frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{a^2+b^2+c^2},
onde s é um escalar que mede “quanto” devemos deslocar ao longo de \mathbf{n}. O ponto projeção Q é
Q = P - s\,\mathbf{n}.
Explicação do porquê: se tomarmos o ponto P - t\mathbf{n} e exigirmos que ele satisfaça a equação do plano, resolvemos para t e obtemos exatamente t=s acima. Para o ponto simétrico (reflexo) de P em relação ao plano, movemos P duas vezes esse deslocamento, logo
P_{\text{sim}} = P - 2s\,\mathbf{n}.
Outra forma útil: P_{\text{sim}} = 2Q - P. Vou aplicar esse procedimento ao caso numérico.
Passo 3
Identificar a,b,c,d e o vetor normal no nosso problema. Da equação \;3x-y+2z-11=0\; temos
a=3,\quad b=-1,\quad c=2,\quad d=-11,
e o vetor normal
\mathbf{n}=(3,-1,2).
Passo 4
Calcular o escalar s usando a fórmula. Substituindo P=(x_0,y_0,z_0)=(1,0,5):
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 3\cdot1 + (-1)\cdot0 + 2\cdot5 -11 = 3 + 0 + 10 -11 = 2.
O denominador é
a^2+b^2+c^2 = 3^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9+1+4 = 14.
Portanto
s=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}.
Passo 5
Calcular o ponto projeção Q = P - s\,\mathbf{n} componente a componente:
logo Q pertence ao plano. Além disso, o vetor \overrightarrow{PQ}=Q-P = \left(-\frac{3}{7},\frac{1}{7},-\frac{2}{7}\right) é múltiplo de \mathbf{n}, confirmando que a projeção foi feita ao longo da direção normal.
Passo 7
Calcular o ponto simétrico de P em relação ao plano. Usamos