Dado o ponto P(1 ; 0 ; 5) e o plano \pi_{1}: 3 x-y+2 z-11=0, responda as seguintes questões:
a) Obtenha o ponto Q que é a projeção ortogonal de P sobre o plano dado.
b) Obtenha o ponto simétrico de P em relação ao plano dado.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(1;0;5) e o plano \pi_{1}: 3x-y+2z-11=0. As perguntas são:
a) Obter o ponto Q que é a projeção ortogonal de P sobre o plano \pi_{1}.
b) Obter o ponto simétrico de P em relação ao plano \pi_{1}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Coordenadas do ponto P: (1,0,5).
  • Equação do plano: 3x-y+2z-11=0, cujos coeficientes podem ser usados diretamente como vetor normal do plano.

Passo 2

Entendimento do método (passo-a-passo didático): para projetar ortogonalmente um ponto num plano e para encontrar o simétrico, usamos a direção do vetor normal do plano. Seja o plano escrito como
ax+by+cz+d=0.
O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). A projeção ortogonal do ponto P=(x_0,y_0,z_0) sobre o plano é obtida movendo P ao longo da direção de \mathbf{n} até atingir o plano. Isso pode ser feito com a fórmula
s=\frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 + d}{a^2+b^2+c^2},
onde s é um escalar que mede “quanto” devemos deslocar ao longo de \mathbf{n}. O ponto projeção Q é
Q = P - s\,\mathbf{n}.
Explicação do porquê: se tomarmos o ponto P - t\mathbf{n} e exigirmos que ele satisfaça a equação do plano, resolvemos para t e obtemos exatamente t=s acima. Para o ponto simétrico (reflexo) de P em relação ao plano, movemos P duas vezes esse deslocamento, logo
P_{\text{sim}} = P - 2s\,\mathbf{n}.
Outra forma útil: P_{\text{sim}} = 2Q - P. Vou aplicar esse procedimento ao caso numérico.

Passo 3

Identificar a,b,c,d e o vetor normal no nosso problema. Da equação \;3x-y+2z-11=0\; temos
a=3,\quad b=-1,\quad c=2,\quad d=-11,
e o vetor normal
\mathbf{n}=(3,-1,2).

Passo 4

Calcular o escalar s usando a fórmula. Substituindo P=(x_0,y_0,z_0)=(1,0,5):
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 3\cdot1 + (-1)\cdot0 + 2\cdot5 -11 = 3 + 0 + 10 -11 = 2.
O denominador é
a^2+b^2+c^2 = 3^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9+1+4 = 14.
Portanto
s=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}.

Passo 5

Calcular o ponto projeção Q = P - s\,\mathbf{n} componente a componente:
Q = (1,0,5) - \frac{1}{7}(3,-1,2).
Fazendo as subtrações:
x_Q = 1 - \frac{3}{7} = \frac{7-3}{7} = \frac{4}{7},
y_Q = 0 - \left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{1}{7},
z_Q = 5 - \frac{2}{7} = \frac{35-2}{7} = \frac{33}{7}.
Logo
Q\;=\;\left(\frac{4}{7};\;\frac{1}{7};\;\frac{33}{7}\right).

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): substituir Q na equação do plano para checar que realmente está no plano.
3\cdot\frac{4}{7} - \frac{1}{7} + 2\cdot\frac{33}{7} - 11 = \frac{12-1+66}{7} - 11 = \frac{77}{7} - 11 =11-11=0,
logo Q pertence ao plano. Além disso, o vetor \overrightarrow{PQ}=Q-P = \left(-\frac{3}{7},\frac{1}{7},-\frac{2}{7}\right) é múltiplo de \mathbf{n}, confirmando que a projeção foi feita ao longo da direção normal.

Passo 7

Calcular o ponto simétrico de P em relação ao plano. Usamos
P_{\text{sim}} = P - 2s\,\mathbf{n}.
Como s=\frac{1}{7}, temos 2s=\frac{2}{7}. Então
P_{\text{sim}} = (1,0,5) - \frac{2}{7}(3,-1,2).
Componentes:
x_{sim} = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7},
y_{sim} = 0 - \left(-\frac{2}{7}\right) = \frac{2}{7},
z_{sim} = 5 - \frac{4}{7} = \frac{31}{7}.
Portanto o simétrico é
P_{\text{sim}}=\left(\frac{1}{7};\;\frac{2}{7};\;\frac{31}{7}\right).

Resposta

a) \left(\dfrac{4}{7};\dfrac{1}{7};\dfrac{33}{7}\right)
b) \left(\dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{31}{7}\right)

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