Calcule as equações das retas assíntotas do gráfico de cada uma das seguintes funções.
y=(1+1x)^x

Passo 1

O enunciado pede as retas assíntotas do gráfico da função
y=l(1+1xr)^x
O tema aqui são as assíntotas: verticais (quando x tende a um ponto de descontinuidade e ytopminfty), horizontais (limites de y quando xtopminfty finitos) e oblíquas (se ysim m x + b quando lvert xrverttoinfty).

Passo 2

Primeiro vamos ao domínio real onde a função é real:
1+1x>0 ;Longrightarrow; x>0 ou x<-1
Como o ramo x<-1 leva a complicações com expoentes reais e valores negativos, focamos em x>0. Nesse intervalo não há pontos de descontinuidade além de x=0.

Passo 3

Calculamos o limite quando xto+infty para ver se há assíntota horizontal:
limxtoinftyl(1+tfrac1xr)^x =exp!l(limxtoinftyxlnl(1+tfrac1xr)r)
Usando expansão ln(1+u)=u-tfracu^22+cdots com u=1/x,
xlnl(1+tfrac1xr) =xl(tfrac1x-tfrac12x^2+cdotsr) =1-tfrac12x+cdots ;xrightarrow[xtoinfty];1
Logo
limxtoinftyy =exp(1)=e,
portanto existe assíntota horizontal
y=e

Passo 4

Verificamos assíntotas verticais: o único ponto de fronteira no domínio positivo é xto0^+. Nesse limite
limxto0^+l(1+tfrac1xr)^x =exp!l(limxto0^+xln(1+tfrac1x)r)
Como ln(1+1/x)simln(1/x)=-ln x e x(-ln x)to0, o limite é 1, não infinito. Logo não há assíntota vertical em x=0 nem em outro ponto.

Passo 5

Para checar assíntota oblíqua calculamos
limxtoinftyyx =limxtoinfty(1+1/x)^xx =e+infty=0,
logo a inclinação m=0 — já capturada pela assíntota horizontal. Não há, portanto, assíntota oblíqua adicional.

Resposta

A única reta assintótica é a horizontal
y = e

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