Teste a convergência ou divergência das séries
sum (2 n+1)^nn^2 n & sum n!2 cdot 5 cdot 8 cdots(3 n+2) sum n!e^n^2 & sum n^2 2^n-1(-5)^n

Passo 1

O enunciado nos pede para testar a convergência ou divergência de quatro séries infinitas diferentes. O conteúdo que vamos usar é principalmente o Teste da Raiz e o Teste da Razão:
– Pelo Teste da Raiz, calculamos
L = limntoinfty raiz[n]|an|
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
– Pelo Teste da Razão, calculamos
R = limntoinfty l|an+1anr|
Se R<1, converge absolutamente; se R>1, diverge; se R=1, é inconclusivo.

Passo 2

Para a série sum (2n+1)^nn^2n, aplicamos o Teste da Raiz:
raiz[n](2n+1)^nn^2n = 2n+1n^2 = 2n + 1n^2
Tomando o limite,
L = limntoinftyl(tfrac2n + tfrac1n^2r)=0<1
Logo a série converge absolutamente.

Passo 3

Para a série sum n!2cdot5cdot8cdots(3n+2), note que o termo geral é
an = n!prodk=0^n(3k+2)
Usamos o Teste da Razão:
an+1an = (n+1)!prodk=0^n+1(3k+2);g/;n!prodk=0^n(3k+2) = n+13n+5
Como
R = limntoinftyn+13n+5 = 13<1,
a série converge absolutamente.

Passo 4

Para a série sum n!e^n^2, aplicamos o Teste da Razão:
an+1an = (n+1)!/e^(n+1)^2n!/e^n^2 = n+1e^2n+1
Tomando o limite,
R = limntoinftyn+1e^2n+1 = 0<1,
portanto a série converge absolutamente.

Passo 5

Para a série sum n^2,2^n-1(-5)^n, escrevemos o termo geral em módulo:
|an| = n^2,2^n-15^n = n^22l(25r)^n
Aplicando o Teste da Raiz,
raiz[n]|an| = raiz[n]n^22;cdot;25 ;xrightarrow[ntoinfty];1;cdot;25 =25<1
Logo a série converge absolutamente (e portanto converge).

Resposta

Para cada uma das quatro séries analisadas, o resultado é:
  1. sum (2n+1)^nn^2n converge absolutamente.
  2. sum n!2cdot5cdot8cdots(3n+2) converge absolutamente.
  3. sum n!e^n^2 converge absolutamente.
  4. sum n^22^n-1(-5)^n converge absolutamente.

Exercícios relacionados