Calcule as equações das retas assíntotas do gráfico de cada uma das seguintes funções.
y=x^2 e^-x

Passo 1

O enunciado pede as retas assíntotas do gráfico de y=x^2e^-x. Para isso vamos usar as definições de assíntota vertical (pontos onde a função não está definida e o valor tende a pminfty), assíntota horizontal (limite da função em pminfty é constante) e assíntota oblíqua (quando limxtopminftyf(x)/x=a existe finito e então b=limxtopminfty(f(x)-ax) dá a reta y=ax+b).

Passo 2

Verificamos assíntotas verticais: o domínio de f(x)=x^2e^-x é R, não há pontos em que f deixa de estar definida, logo não há assíntotas verticais.

Passo 3

Procuramos assíntotas horizontais avaliando limxtopminftyx^2e^-x.
Para xto+infty, o fator exponencial domina o polinômio e
limxto+inftyx^2e^-x=0,
portanto existe assíntota horizontal y=0 quando xto+infty.
Para xto-infty, temos e^-x=e^|x| crescendo mais rápido que x^2, então
limxto-inftyx^2e^-x=+infty,
não há assíntota horizontal para xto-infty.

Passo 4

Procuramos assíntota oblíqua: calcularíamos
a=limxtopminftyf(x)x e b=limxtopminftyl(f(x)-a,xr)
Mas em ambos os casos, para xto+infty e xto-infty, x^2e^-xx não converge a um número finito (vai a 0 em +infty e a -infty em -infty), de modo que não surge reta oblíqua.

Resposta

A única reta assíntota do gráfico de y=x^2e^-x é
y=0,
válida como assíntota horizontal para xto+infty.

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