Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L’Hopital se necessário.
lim x 0^+ ln (sen 2 x)ln (sen 3 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+ln(sin2x)ln(sin3x)
Aqui tanto ln(sin2x) quanto ln(sin3x) tendem a -infty quando xto0^+, pois sin(kx)to0. Isso configura uma forma indeterminada -infty/,-infty. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hôpital e também lembrar da aproximação sin xapprox x para x pequeno.

Passo 2

Como identificamos a forma -infty/,-infty, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limxto0^+ln(sin2x)ln(sin3x) = limxto0^+ddxl[ln(sin2x)r]ddxl[ln(sin3x)r]

Passo 3

Calculamos as derivadas:
A derivada de ln(sin2x) é
ddxln(sin2x) =2cos2xsin2x =2cot2x,
e a de ln(sin3x) é
ddxln(sin3x) =3cos3xsin3x =3cot3x
Logo o limite fica
limxto0^+2cot2x3cot3x

Passo 4

Para xto0 vale cot yapprox1/y quando y é pequeno. Então
cot2xapprox12x, cot3xapprox13x
Substituindo,
2cot2x3cot3x approx 2cdot12x3cdot13x =tfrac1xtfrac1x =1

Passo 5

Pela regra de L’Hôpital, o valor do limite original coincide com o limite das derivadas, que deu 1.

Resposta

1

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