Esboce os gráficos das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo da matéria envolve análise de funções reais: domínio, interceptos, comportamento nas extremidades, derivadas para monotonicidade e concavidade, pontos críticos e pontos de inflexão.
Passo 2
Determinamos o domínio e o comportamento em
.
O fator e
estão definidos para todo
, logo o domínio é
.
Para , temos
e
cresce linearmente, então
O fator
Para
Para
,
cresce muito mais rápido que
(que é negativo), então
Passo 3
Calculamos os interceptos com os eixos.
Para o eixo , fazemos
:
Para o eixo
pois
. O ponto de interseção é
.
O intercepto com o eixo é dado por
, confirmando o mesmo ponto.
O intercepto com o eixo
Passo 4
Analisamos a monotonicidade via a primeira derivada.
Resolvendo
obtemos
, logo
.
- Para
, e , então : crescente. - Para
, e , então : decrescente.
Portantoé um máximo relativo, com
Passo 5
Analisamos a concavidade via a segunda derivada.
Resolvendo
dá
, ou seja
.
- Para
, e , então : concavidade para baixo. - Para
, e , então : concavidade para cima.
Logoé ponto de inflexão, com
Passo 6
Reunindo as informações temos:
- O gráfico sai de
quando , cruza a origem e cresce até o máximo em . - Entre
e é decrescente e côncavo para baixo, atinge ponto de inflexão em . - A partir de
continua decrescente, mas agora côncavo para cima, aproximando-se de quando .
Com isso, o esboço é uma curva que sobe do negativo infinito, passa na origem, atinge pico em
, inflete em
e decai suavemente para a assíntota horizontal
.
Resposta
O gráfico de
apresenta:
(1) domínio ;
(2) intercepto na origem;
(3) máximo em ;
(4) inflexão em ;
(5) comportamento quando
e
quando
.
(1) domínio
(2) intercepto na origem;
(3) máximo em
(4) inflexão em
(5) comportamento