Esboce os gráficos das seguintes funções.
y=2 x e^-x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=2x e^-x
O conteúdo da matéria envolve análise de funções reais: domínio, interceptos, comportamento nas extremidades, derivadas para monotonicidade e concavidade, pontos críticos e pontos de inflexão.

Passo 2

Determinamos o domínio e o comportamento em xtopminfty.
O fator 2x e e^-x estão definidos para todo xinR, logo o domínio é R.
Para xto+infty, temos e^-xto0^+ e 2x cresce linearmente, então
limxto+inftyf(x)=limxto+infty2x e^-x=0
Para xto-infty, e^-x=e^|x|to+infty cresce muito mais rápido que 2x (que é negativo), então
limxto-inftyf(x)=-infty

Passo 3

Calculamos os interceptos com os eixos.
Para o eixo x, fazemos f(x)=0:
2x e^-x=0Longrightarrow x=0,
pois e^-xneq0. O ponto de interseção é (0,0).
O intercepto com o eixo y é dado por f(0)=0, confirmando o mesmo ponto.

Passo 4

Analisamos a monotonicidade via a primeira derivada.
f'(x)=ddxl(2x e^-xr) =2e^-x+2xl(-e^-xr) =2e^-x(1-x)
Resolvendo f'(x)=0 obtemos 1-x=0, logo x=1.
  • Para x<1, 1-x>0 e e^-x>0, então f'(x)>0: crescente.
  • Para x>1, 1-x<0 e e^-x>0, então f'(x)<0: decrescente.
    Portanto x=1 é um máximo relativo, com
f(1)=2cdot1cdot e^-1=2eapprox0,736

Passo 5

Analisamos a concavidade via a segunda derivada.
f''(x)=ddxl(2e^-x(1-x)r) =2l(-e^-xr)(1-x)+2e^-x(-1) =2e^-xl[-(1-x)-(1)r] =2e^-x(x-2)
Resolvendo f''(x)=0 x-2=0, ou seja x=2.
  • Para x<2, x-2<0 e e^-x>0, então f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Para x>2, x-2>0 e e^-x>0, então f''(x)>0: concavidade para cima.
    Logo x=2 é ponto de inflexão, com
f(2)=2cdot2cdot e^-2=4e^2approx0,541

Passo 6

Reunindo as informações temos:
  • O gráfico sai de -infty quando xto-infty, cruza a origem e cresce até o máximo em l(1,tfrac2er).
  • Entre x=1 e x=2 é decrescente e côncavo para baixo, atinge ponto de inflexão em l(2,tfrac4e^2r).
  • A partir de x=2 continua decrescente, mas agora côncavo para cima, aproximando-se de y=0 quando xto+infty.
Com isso, o esboço é uma curva que sobe do negativo infinito, passa na origem, atinge pico em l(1,2/er), inflete em l(2,4/e^2r) e decai suavemente para a assíntota horizontal y=0.

Resposta

O gráfico de y=2x e^-x apresenta:
(1) domínio R;
(2) intercepto na origem;
(3) máximo em l(1,tfrac2er);
(4) inflexão em l(2,tfrac4e^2r);
(5) comportamento f(x)to-infty quando xto-infty e f(x)to0^+ quando xto+infty.

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