Calcule as equações das retas tangentes aos gráficos das funções nos pontos indicados abaixo:
(d)
, em
(d)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (pego diretamente do enunciado):
- Função:
. - Ponto indicado:
.
O enunciado pede: calcular a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função no(s) ponto(s) indicado(s). Neste caso há um único ponto, correspondente a
.
Passo 2
O que é uma reta tangente e como representá-la na prova:
- Intuição: a reta tangente ao gráfico de uma função em
é a reta que “encosta” no gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação (mesma taxa de variação instantânea) que a função em . - Fórmula prática (forma ponto-de-clive):
Onde: -
e são as coordenadas do ponto de tangência (ou seja, ). -
é a inclinação (coeficiente angular) da reta, que é igual à derivada da função no ponto: .
Essa fórmula é a que normalmente se usa na prova: basta encontrare e substituir.
-
Passo 3
Encontrar o ponto de tangência
:
- Aqui
. - Calcular
. Então:
Logo o ponto é
.
Passo 4
Como obter a inclinação
: conceito de derivada e regra prática
- Definição conceitual (útil para entender): a derivada em
é o limite
que dá a inclinação da reta tangente em
.
- Regra prática (que se usa na prova para funções polinomiais): a derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de uma constante é
, e a regra do poder: a derivada de é . Essas regras são resultado da definição por limite, mas na prática aceleram muito os cálculos.
Passo 5
Calcular
usando as regras:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto:
Passo 6
Avaliar a derivada no ponto
para obter a inclinação
:
Então a inclinação da reta tangente em
é
. (Isso significa que a tangente é uma reta horizontal.)
Passo 7
Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-de-clive:
- Substituindo
, e em obtemos
- Simplificando:
Passo 8
Verificação rápida pelo quociente incremental (opcional, como checagem didática):
- O quociente incremental em
é
- Fazendo
dá , o que confirma e a reta .