Calcule as equações das retas tangentes aos gráficos das funções nos pontos indicados abaixo:
(d) s(x)=x^{4}-x^{3}+1, em x=0

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (pego diretamente do enunciado):
  • Função: s(x)=x^{4}-x^{3}+1.
  • Ponto indicado: x=0.
O enunciado pede: calcular a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função no(s) ponto(s) indicado(s). Neste caso há um único ponto, correspondente a x=0.

Passo 2

O que é uma reta tangente e como representá-la na prova:
  • Intuição: a reta tangente ao gráfico de uma função em x=x_0 é a reta que “encosta” no gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação (mesma taxa de variação instantânea) que a função em x_0.
  • Fórmula prática (forma ponto-de-clive): y-y_0=m(x-x_0)Onde:
    • x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto de tangência (ou seja, y_0=s(x_0)).
    • m é a inclinação (coeficiente angular) da reta, que é igual à derivada da função no ponto: m=s'(x_0).
      Essa fórmula é a que normalmente se usa na prova: basta encontrar x_0,y_0 e m e substituir.

Passo 3

Encontrar o ponto de tangência (x_0,y_0):
  • Aqui x_0=0.
  • Calcular y_0=s(0). Então:
s(0)=0^{4}-0^{3}+1=1.
Logo o ponto é (0,1).

Passo 4

Como obter a inclinação m: conceito de derivada e regra prática
  • Definição conceitual (útil para entender): a derivada em a é o limite
s'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h},
que dá a inclinação da reta tangente em x=a.
  • Regra prática (que se usa na prova para funções polinomiais): a derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de uma constante é 0, e a regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Essas regras são resultado da definição por limite, mas na prática aceleram muito os cálculos.

Passo 5

Calcular s'(x) usando as regras:
  • Derivada de x^{4} é 4x^{3}.
  • Derivada de -x^{3} é -3x^{2}.
  • Derivada de +1 é 0.
    Portanto:
s'(x)=4x^{3}-3x^{2}.

Passo 6

Avaliar a derivada no ponto x_0=0 para obter a inclinação m:
s'(0)=4\cdot0^{3}-3\cdot0^{2}=0.
Então a inclinação da reta tangente em x=0 é m=0. (Isso significa que a tangente é uma reta horizontal.)

Passo 7

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-de-clive:
  • Substituindo x_0=0, y_0=1 e m=0 em \;y-y_0=m(x-x_0)\; obtemos
y-1=0\cdot(x-0).
  • Simplificando:
y=1.

Passo 8

Verificação rápida pelo quociente incremental (opcional, como checagem didática):
  • O quociente incremental em 0 é
\frac{s(h)-s(0)}{h}=\frac{(h^{4}-h^{3}+1)-1}{h}=h^{3}-h^{2}.
  • Fazendo h\to 0 \lim_{h\to0}(h^{3}-h^{2})=0, o que confirma s'(0)=0 e a reta y=1.

Resposta

y=1

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