Calcule as equações das retas tangentes aos gráficos das funções nos pontos indicados abaixo:
(c)
, em
(c)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente tem coordenada
.
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente ao gráfico deno ponto cujo vale . Para escrever essa reta precisamos de (i) o ponto do gráfico correspondente e (ii) a inclinação (declive) da reta, que é a derivada .
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo): a reta tangente à curva
no ponto
tem equação dada pela fórmula do ponto-inclinação:
Aqui:
-
é o ponto de abscissa onde tomamos a tangente (no nosso caso ); -
é a ordenada do ponto da curva (o valor da função em ); -
é a derivada de avaliada em , e representa o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente; -
são as variáveis da equação da reta.
Portanto, vamos calcular(a derivada geral), depois avaliar (para obter a inclinação) e calcular (para obter o ponto). Em seguida substituímos na fórmula acima e simplificamos para obter a forma mais comum da reta (por exemplo, ).
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo. Usamos as regras básicas:
e a derivada de soma/subtração é soma/subtração das derivadas.
A função é . Derivando termo a termo:
A função é
Somando os resultados:
Passo 4
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação da tangente:
Portanto, o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em
é
.
Passo 5
Calcular
, o valor da função no ponto, para obter a ordenada do ponto de tangência:
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 6
Usar a fórmula do ponto-inclinação com
,
e
:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.