Calcule as equações das retas tangentes aos gráficos das funções nos pontos indicados abaixo:
(c) h(x)=x^{3}-x^{2}+x-1, em x=1

Passo 1

O enunciado pede: calcular a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função h no ponto de abscissa x=1.
Informações dadas:
  • A função é h(x)=x^{3}-x^{2}+x-1.
  • O ponto onde queremos a tangente tem coordenada x=1.
    O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente ao gráfico de h no ponto cujo x vale 1. Para escrever essa reta precisamos de (i) o ponto do gráfico correspondente \bigl(1,h(1)\bigr) e (ii) a inclinação (declive) da reta, que é a derivada h'(1).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo): a reta tangente à curva y=h(x) no ponto x=a tem equação dada pela fórmula do ponto-inclinação:
y - h(a) = h'(a)\bigl(x - a\bigr).
Aqui:
  • a é o ponto de abscissa onde tomamos a tangente (no nosso caso a=1);
  • h(a) é a ordenada do ponto da curva (o valor da função em a);
  • h'(a) é a derivada de h avaliada em a, e representa o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente;
  • x,y são as variáveis da equação da reta.
    Portanto, vamos calcular h'(x) (a derivada geral), depois avaliar h'(1) (para obter a inclinação) e calcular h(1) (para obter o ponto). Em seguida substituímos na fórmula acima e simplificamos para obter a forma mais comum da reta (por exemplo, y=mx+b).

Passo 3

Calcular a derivada h'(x) passo a passo. Usamos as regras básicas: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} e a derivada de soma/subtração é soma/subtração das derivadas.
A função é h(x)=x^{3}-x^{2}+x-1. Derivando termo a termo:
\begin{aligned} \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) &= 3x^{2},\\[4pt] \frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}\bigr) &= -2x,\\[4pt] \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) &= 1,\\[4pt] \frac{d}{dx}\bigl(-1\bigr) &= 0. \end{aligned}
Somando os resultados:
h'(x)=3x^{2}-2x+1.]

Passo 4

Avaliar a derivada em x=1 para obter a inclinação da tangente:
h'(1)=3\cdot1^{2}-2\cdot1+1=3-2+1=2.
Portanto, o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em x=1 é m=2.

Passo 5

Calcular h(1), o valor da função no ponto, para obter a ordenada do ponto de tangência:
h(1)=1^{3}-1^{2}+1-1=1-1+1-1=0.
Logo o ponto de tangência é \bigl(1,0\bigr).

Passo 6

Usar a fórmula do ponto-inclinação com a=1, h(1)=0 e h'(1)=2:
y - 0 = 2\bigl(x - 1\bigr).
Simplificando:
y = 2x - 2.
Essa é a equação da reta tangente ao gráfico de h no ponto x=1.

Resposta

y=2x-2

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