1. Um objeto em queda livre tem sua altura em função do tempo t, em segundos, dada por:
h(t)=100-10 t-5 t^{2}
Utilize a técnica acima para calcular a sua velocidade ao atingir o solo

Passo 1

O enunciado dá a altura do objeto em função do tempo t (em segundos):
h(t)=100-10t-5t^{2}.
O que se pede: calcular a velocidade do objeto no instante em que ele atinge o solo (ou seja, no momento em que a altura se torna zero). Informações relevantes fornecidas:
  • A função da altura é \;h(t)=100-10t-5t^{2}.
  • O tempo t está em segundos.
  • O instante de impacto é o(s) t tal que h(t)=0.
  • Precisamos fornecer a velocidade nesse instante.

Passo 2

Entendendo o que é velocidade instantânea (aula rápida e amigável).
  • Velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição (altura) em relação ao tempo no instante t. Matematicamente isso é a derivada da função posição h(t).
  • Definição por limite (intuição): v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}.
  • Regra prática que usamos na prova: para polinômios aplicamos a regra do poder (power rule): a derivada de a t^{n} é a n t^{n-1}. A derivada de uma constante é zero. Isso evita ter que calcular o limite toda vez.

Passo 3

Derivar h(t) termo a termo usando a regra do poder.
  • Derivada de 100 é 0.
  • Derivada de -10t é -10 (porque é -10\cdot t^{1} e 1\cdot t^{0}=1).
  • Derivada de -5t^{2} é -5\cdot 2 t^{1} = -10t.
    Portanto a velocidade em função do tempo é
v(t)=h'(t)=-10-10t.

Passo 4

Determinar o instante de impacto t_{f} resolvendo h(t)=0.
Escrevendo a equação:
100-10t-5t^{2}=0.
Organizando como uma equação quadrática:
-5t^{2}-10t+100=0.
Multiplicando por -1 e dividindo por 5:
t^{2}+2t-20=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
t=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1\cdot(-20)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+80}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{84}}{2}.
Simplificando \sqrt{84}=2\sqrt{21}:
t=\frac{-2\pm 2\sqrt{21}}{2}=-1\pm\sqrt{21}.
Como tempo deve ser não‑negativo, escolhemos a raiz positiva:
t_{f}=-1+\sqrt{21}.

Passo 5

Calcular a velocidade no instante de impacto substituindo t_{f} em v(t).
v(t_{f})=-10-10t_{f}=-10-10\bigl(-1+\sqrt{21}\bigr).
Fazendo as contas:
v(t_{f})=-10+10-10\sqrt{21}=-10\sqrt{21}.
Essa é a forma exata da velocidade. Em unidades do SI (metros por segundo), o sinal negativo indica que o movimento é para baixo (velocidade dirigida para o solo).

Passo 6

Apresentar também o valor aproximado (útil na prova se pedirem número):
\sqrt{21}\approx 4,582575695\ldots
Logo
v(t_{f})\approx -10\cdot 4,582575695\ldots \approx -45,83\\ \text{m/s}.

Passo 7

Resumo prático para usar na prova (cola mental):
  1. Encontre o instante de impacto resolvendo h(t)=0.
  2. Ache v(t)=h'(t) por derivação.
  3. Substitua o instante de impacto em v(t).
    Feito isso, interprete o sinal (negativo = para baixo).

Resposta

-10\sqrt{21}\\ \text{m/s} \approx -45,83\\ \text{m/s}

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