- Um objeto em queda livre tem sua altura em função do tempo
, em segundos, dada por:
Utilize a técnica acima para calcular a sua velocidade ao atingir o solo
Passo 1
O enunciado dá a altura do objeto em função do tempo
(em segundos):
O que se pede: calcular a velocidade do objeto no instante em que ele atinge o solo (ou seja, no momento em que a altura se torna zero). Informações relevantes fornecidas:
- A função da altura é
. - O tempo
está em segundos. - O instante de impacto é o(s)
tal que . - Precisamos fornecer a velocidade nesse instante.
Passo 2
Entendendo o que é velocidade instantânea (aula rápida e amigável).
- Velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição (altura) em relação ao tempo no instante . Matematicamente isso é a derivada da função posição . - Definição por limite (intuição):
- Regra prática que usamos na prova: para polinômios aplicamos a regra do poder (power rule): a derivada de
é . A derivada de uma constante é zero. Isso evita ter que calcular o limite toda vez.
Passo 3
Derivar
termo a termo usando a regra do poder.
- Derivada de
é . - Derivada de
é (porque é e ). - Derivada de
é .
Portanto a velocidade em função do tempo é
Passo 4
Determinar o instante de impacto
resolvendo
.
Escrevendo a equação:
Escrevendo a equação:
Organizando como uma equação quadrática:
Multiplicando por
e dividindo por
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Simplificando
:
Como tempo deve ser não‑negativo, escolhemos a raiz positiva:
Passo 5
Calcular a velocidade no instante de impacto substituindo
em
.
Fazendo as contas:
Essa é a forma exata da velocidade. Em unidades do SI (metros por segundo), o sinal negativo indica que o movimento é para baixo (velocidade dirigida para o solo).
Passo 6
Apresentar também o valor aproximado (útil na prova se pedirem número):
Logo
Passo 7
Resumo prático para usar na prova (cola mental):
- Encontre o instante de impacto resolvendo
. - Ache
por derivação. - Substitua o instante de impacto em
.
Feito isso, interprete o sinal (negativo = para baixo).