Calcule as equações das retas tangentes aos gráficos das funções nos pontos indicados abaixo:
(b)
, em
(b)
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto correspondente a
. As informações dadas são:
- A função é
. - O ponto em abscissa é
.
O objetivo é encontrar a equação da reta tangente à curvano ponto com . Para isso precisamos o ponto (coordenada ) e a inclinação (coeficiente angular) da reta nesse ponto.
Passo 2
Fórmula e ideia que vamos usar (explicada):
- A inclinação da reta tangente num ponto
é dada pela derivada da função naquele ponto, isto é . A derivada representa a taxa de variação instantânea ou o “declive” da curva. - A equação da reta tangente em forma ponto-ângulo (ponto-inclinação) é
onde
é a abscissa do ponto de tangência,
é a ordenada do ponto e
é a inclinação. Aqui
e
são as variáveis da reta.
Explicando as letras:
-
é o valor de onde queremos a tangente ( neste problema). -
é o valor da função nesse ponto (a coordenada do ponto de tangência). -
é a derivada (slope) avaliada em .
Usaremos essa fórmula com.
Passo 3
Calcular a derivada
. Vamos usar regras básicas:
- Regra do poder: a derivada de
é . - Derivada da soma é soma das derivadas.
- Derivada de
(com constante) é .
Aplicando a essas partes:
Passo 4
Calcular a ordenada do ponto de tangência
:
Cálculo passo a passo:
logo
Portanto a coordenada do ponto é
.
Passo 5
Calcular a inclinação
:
Cálculo passo a passo:
logo
Portanto a inclinação da tangente no ponto é
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-ângulo com
,
e
:
Simplificando:
Alternativamente, na forma ponto-ângulo:
que é equivalente a
.