Calcule as equações das retas tangentes aos gráficos das funções nos pontos indicados abaixo:
(b) g(x)=x^{3}-x^{2}+2 x, em x=-1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função g no ponto correspondente a x=-1. As informações dadas são:
  • A função é g(x)=x^{3}-x^{2}+2x.
  • O ponto em abscissa é x=-1.
    O objetivo é encontrar a equação da reta tangente à curva y=g(x) no ponto com x=-1. Para isso precisamos o ponto (coordenada y) e a inclinação (coeficiente angular) da reta nesse ponto.

Passo 2

Fórmula e ideia que vamos usar (explicada):
  • A inclinação da reta tangente num ponto x=a é dada pela derivada da função naquele ponto, isto é g'(a). A derivada representa a taxa de variação instantânea ou o “declive” da curva.
  • A equação da reta tangente em forma ponto-ângulo (ponto-inclinação) é
y = g(a) + g'(a)\big(x-a\big),
onde a é a abscissa do ponto de tangência, g(a) é a ordenada do ponto e g'(a) é a inclinação. Aqui x e y são as variáveis da reta.
Explicando as letras:
  • a é o valor de x onde queremos a tangente ( a=-1 neste problema).
  • g(a) é o valor da função nesse ponto (a coordenada y do ponto de tangência).
  • g'(a) é a derivada (slope) avaliada em a.
    Usaremos essa fórmula com a=-1.

Passo 3

Calcular a derivada g'(x). Vamos usar regras básicas:
  • Regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Derivada da soma é soma das derivadas.
  • Derivada de c x (com c constante) é c.
    Aplicando a essas partes:
g(x)=x^{3}-x^{2}+2x
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)-\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(2x\big)
g'(x)=3x^{2}-2x+2.

Passo 4

Calcular a ordenada do ponto de tangência g(-1):
g(-1)=(-1)^{3}-(-1)^{2}+2(-1).
Cálculo passo a passo:
(-1)^{3}=-1,\qquad (-1)^{2}=1,\qquad 2(-1)=-2,
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g(-1)=-1-1-2=-4.
Portanto a coordenada do ponto é (-1,\,-4).

Passo 5

Calcular a inclinação g'(-1):
g'(-1)=3(-1)^{2}-2(-1)+2.
Cálculo passo a passo:
(-1)^{2}=1,\quad 3\cdot1=3,\quad -2(-1)=+2,
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g'(-1)=3+2+2=7.
Portanto a inclinação da tangente no ponto é 7.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-ângulo com a=-1, g(-1)=-4 e g'(-1)=7:
y=g(-1)+g'(-1)\big(x-(-1)\big) = -4 + 7\big(x+1\big).
Simplificando:
y=-4+7x+7=7x+3.
Alternativamente, na forma ponto-ângulo:
y-(-4)=7\big(x-(-1)\big)\quad\text{ou}\quad y+4=7(x+1),
que é equivalente a y=7x+3.

Resposta

y=7x+3

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