Calcule as equações das retas tangentes aos gráficos das funções nos pontos indicados abaixo:
(a)
, em
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto correspondente a
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente tem abscissa
. - O que se pede: a equação da reta tangente ao gráfico de
naquele ponto.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo):
-
A reta tangente a um gráfico em
é a reta que toca o gráfico em e tem a mesma inclinação (mesma derivada) que a curva naquele ponto. -
A inclinação da tangente em
é dada por , isto é, a derivada da função em . -
A fórmula ponto-inclinação da reta com inclinação
que passa por é
Aqui usaremos
,
e
.
- Definição da derivada (intuição): a derivada em
pode ser calculada por
que é a inclinação das retas secantes quando os dois pontos se aproximam.
Passo 3
Calcular a derivada da função termo a termo — primeiro via ideia prática (derivada de potência) e depois justifico com um exemplo rápido usando a definição por limite.
- Regra de derivação (intuitiva e usada frequentemente): para
a derivada é . Assim, para cada termo: - a derivada de
é ; - a derivada de
é ; - a derivada de uma constante
é .
- a derivada de
Portanto, aplicando essas regras:
- Para não ficar no “achismo”, vou mostrar rapidamente por que a derivada de
é usando a definição por limite. Seja . Então
Tomando o limite quando
obtemos
. Isso justifica a regra de potência para
. As outras derivações (constante e coeficiente multiplicando) seguem de maneira análoga (linearidade).
Passo 4
Calcular a inclinação da tangente em
usando a derivada encontrada:
Então a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é
.
Calcular o valor da função no ponto
para obter o ponto de tangência:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 5
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
Substituindo
e
obtemos a forma ponto-inclinação da reta tangente: