Calcule as equações das retas tangentes aos gráficos das funções nos pontos indicados abaixo:
(a) f(x)=2 x^{2}+3 x+1, em x=1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2 x^{2}+3 x+1 e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto correspondente a x=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=2 x^{2}+3 x+1.
  • O ponto onde queremos a tangente tem abscissa x=1.
  • O que se pede: a equação da reta tangente ao gráfico de f naquele ponto.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo):
  • A reta tangente a um gráfico em x=a é a reta que toca o gráfico em (a,f(a)) e tem a mesma inclinação (mesma derivada) que a curva naquele ponto.
  • A inclinação da tangente em x=a é dada por f'(a), isto é, a derivada da função em a.
  • A fórmula ponto-inclinação da reta com inclinação m que passa por (x_0,y_0) é
y-y_0 = m (x-x_0).
Aqui usaremos x_0 = a, y_0 = f(a) e m = f'(a).
  • Definição da derivada (intuição): a derivada em a pode ser calculada por
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
que é a inclinação das retas secantes quando os dois pontos se aproximam.

Passo 3

Calcular a derivada da função termo a termo — primeiro via ideia prática (derivada de potência) e depois justifico com um exemplo rápido usando a definição por limite.
  • Regra de derivação (intuitiva e usada frequentemente): para x^n a derivada é n x^{n-1}. Assim, para cada termo:
    • a derivada de 2x^{2} é 2\cdot 2 x^{2-1}=4x;
    • a derivada de 3x é 3;
    • a derivada de uma constante 1 é 0.
Portanto, aplicando essas regras:
f'(x)=4x+3.
  • Para não ficar no “achismo”, vou mostrar rapidamente por que a derivada de x^{2} é 2x usando a definição por limite. Seja g(x)=x^{2}. Então
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}
\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h.
Tomando o limite quando h\to0 obtemos 2x. Isso justifica a regra de potência para n=2. As outras derivações (constante e coeficiente multiplicando) seguem de maneira análoga (linearidade).

Passo 4

Calcular a inclinação da tangente em x=1 usando a derivada encontrada:
f'(1)=4\cdot 1 + 3 = 7.
Então a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é m=7.
Calcular o valor da função no ponto x=1 para obter o ponto de tangência:
f(1)=2\cdot 1^{2}+3\cdot 1 + 1 = 2+3+1 = 6.
Portanto o ponto de tangência é (1,6).

Passo 5

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
y - f(1) = f'(1)\,(x-1).
Substituindo f(1)=6 e f'(1)=7 obtemos a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y-6 = 7(x-1).

Resposta

y=7x-1

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