- Preencha a tabela abaixo, calculando a taxa de crescimento instantânea de cada função no ponto indicado:
1
0
0
1
0
2
0
1
| 1 |
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| 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 |
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| 1 |
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá (sem resolver nada ainda).
- O enunciado pede: preencher a tabela calculando a taxa de crescimento instantânea de cada função nos pontos indicados. Em outras palavras, calcular a derivada (taxa instantânea) de cada função nos pontos
, e . - As funções (cada coluna da tabela) são:
- Coluna 1:
. - Coluna 2:
. - Coluna 3:
. - Coluna 4:
. - Coluna 5:
.
- Coluna 1:
- A tabela já traz a linha correspondente a
com os valores das taxas instantâneas: - Para
os valores dados são .
- Para
- O objetivo é encontrar as taxas instantâneas (derivadas) para
e também, e confirmar a linha de .
Passo 2
O que é “taxa de crescimento instantânea” e como calculamos na prova (definição precisa).
- A taxa de crescimento instantânea de uma função
no ponto é o valor da derivada de em , denotado . - Definição por limite:
Expliquei cada parte:
-
é a variação de quando a entrada varia de para . - Dividindo por
obtemos a razão média de variação (inclinação da secante). - Fazendo
obtemos a inclinação da reta tangente em , que é a taxa instantânea. - Na prática de prova usamos regras de derivação para evitar fazer limites toda vez; vou mostrar e justificar as regras que vou usar.
Passo 3
Regras básicas de derivação (o que usar e por quê), com justificativas simples e exemplos curtos.
-
Derivada de constante:
- Regra: se
é constante, então . - Justificativa curta:
para todo , logo o limite é .
- Regra: se
-
Derivada da identidade:
- Regra:
. - Justificativa: use a definição
- Regra:
-
Regra do poder (casos inteiros simples):
- Para
: . - Demonstração rápida pelo limite:
Fazendo obtemos . - Para
: . - Usando a expansão
, divide por e toma limite; sobra .
- Usando a expansão
- Em geral, para inteiro
, . Nas provas de cálculo básico costuma-se aceitar essa regra; para e já mostramos por limite.
- Para
-
Linearidade:
- Se
com constantes , então . - Isso permite derivar soma e constantes multiplicando por fora.
- Se
-
Derivada de uma função linear:
- Se
então (é consequência da identidade e da linearidade).
- Se
Vou aplicar essas regras às funções dadas.
Passo 4
Encontrar a expressão da derivada de cada função (derivada simbólica), mostrando os passos:
-
Para
: - Pela regra 1,
. - Então
para todo .
- Pela regra 1,
-
Para
: - Pela regra 2,
. - Então
para todo .
- Pela regra 2,
-
Para
: - Pela regra do poder (caso
), . - Então
.
- Pela regra do poder (caso
-
Para
: - Use linearidade: derivada de
é e derivada de é . - Logo
.
- Use linearidade: derivada de
-
Para
: - Pela regra do poder (caso
), . - Então
.
- Pela regra do poder (caso
Agora temos as fórmulas das taxas instantâneas para cada função:
Passo 5
Avaliar cada derivada nos pontos
,
e
. Faço conta por conta, bem mastigada.
-
Para
: -
. -
. -
. -
. -
. - Isso confirma a linha já dada:
.
-
-
Para
: -
. -
. -
. -
. -
.
Então a linha paraé . -
-
Para
: -
. -
. -
. -
. -
.
Então a linha paraé . -