1. Preencha a tabela abaixo, calculando a taxa de crescimento instantânea de cada função no ponto indicado:
1 x x^{2} 2 x+\frac{1}{2} x^{3}
0 0 1 0 2 0
\frac{1}{2}
1

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá (sem resolver nada ainda).
  • O enunciado pede: preencher a tabela calculando a taxa de crescimento instantânea de cada função nos pontos indicados. Em outras palavras, calcular a derivada (taxa instantânea) de cada função nos pontos x=0, x=\tfrac{1}{2} e x=1.
  • As funções (cada coluna da tabela) são:
    • Coluna 1: f_1(x)=1.
    • Coluna 2: f_2(x)=x.
    • Coluna 3: f_3(x)=x^{2}.
    • Coluna 4: f_4(x)=2x+\tfrac{1}{2}.
    • Coluna 5: f_5(x)=x^{3}.
  • A tabela já traz a linha correspondente a x=0 com os valores das taxas instantâneas:
    • Para x=0 os valores dados são 0,\;1,\;0,\;2,\;0.
  • O objetivo é encontrar as taxas instantâneas (derivadas) para x=\tfrac{1}{2} e x=1 também, e confirmar a linha de x=0.

Passo 2

O que é “taxa de crescimento instantânea” e como calculamos na prova (definição precisa).
  • A taxa de crescimento instantânea de uma função f no ponto a é o valor da derivada de f em a, denotado f'(a).
  • Definição por limite:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Expliquei cada parte:
  • f(a+h)-f(a) é a variação de f quando a entrada varia de a para a+h.
  • Dividindo por h obtemos a razão média de variação (inclinação da secante).
  • Fazendo h\to0 obtemos a inclinação da reta tangente em a, que é a taxa instantânea.
  • Na prática de prova usamos regras de derivação para evitar fazer limites toda vez; vou mostrar e justificar as regras que vou usar.

Passo 3

Regras básicas de derivação (o que usar e por quê), com justificativas simples e exemplos curtos.
  1. Derivada de constante:
    • Regra: se c é constante, então \text{(c)}'=0.
    • Justificativa curta: \frac{c-\text{(c)}}{h}=0 para todo h, logo o limite é 0.
  2. Derivada da identidade:
    • Regra: \dfrac{d}{dx}x = 1.
    • Justificativa: use a definição
    \lim_{h\to0}\frac{(a+h)-a}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.
  3. Regra do poder (casos inteiros simples):
    • Para n=2: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
      • Demonstração rápida pelo limite:
      \frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}=2a+h.Fazendo h\to0 obtemos 2a.
    • Para n=3: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
      • Usando a expansão (a+h)^{3}=a^{3}+3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3}, divide por h e toma limite; sobra 3a^{2}.
    • Em geral, para inteiro n, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Nas provas de cálculo básico costuma-se aceitar essa regra; para n=2 e n=3 já mostramos por limite.
  4. Linearidade:
    • Se f(x)=\alpha g(x)+\beta h(x) com constantes \alpha,\beta, então f'(x)=\alpha g'(x)+\beta h'(x).
    • Isso permite derivar soma e constantes multiplicando por fora.
  5. Derivada de uma função linear:
    • Se f(x)=ax+b então f'(x)=a (é consequência da identidade e da linearidade).
Vou aplicar essas regras às funções dadas.

Passo 4

Encontrar a expressão da derivada de cada função (derivada simbólica), mostrando os passos:
  • Para f_1(x)=1:
    • Pela regra 1, \dfrac{d}{dx}1=0.
    • Então f_1'(x)=0 para todo x.
  • Para f_2(x)=x:
    • Pela regra 2, \dfrac{d}{dx}x=1.
    • Então f_2'(x)=1 para todo x.
  • Para f_3(x)=x^{2}:
    • Pela regra do poder (caso n=2), \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
    • Então f_3'(x)=2x.
  • Para f_4(x)=2x+\tfrac{1}{2}:
    • Use linearidade: derivada de 2x é 2\cdot 1 = 2 e derivada de \tfrac{1}{2} é 0.
    • Logo f_4'(x)=2.
  • Para f_5(x)=x^{3}:
    • Pela regra do poder (caso n=3), \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
    • Então f_5'(x)=3x^{2}.
Agora temos as fórmulas das taxas instantâneas para cada função:
f_1'(x)=0,\quad f_2'(x)=1,\quad f_3'(x)=2x,\quad f_4'(x)=2,\quad f_5'(x)=3x^{2}.

Passo 5

Avaliar cada derivada nos pontos x=0, x=\tfrac{1}{2} e x=1. Faço conta por conta, bem mastigada.
  • Para x=0:
    • f_1'(0)=0.
    • f_2'(0)=1.
    • f_3'(0)=2\cdot0=0.
    • f_4'(0)=2.
    • f_5'(0)=3\cdot0^{2}=0.
    • Isso confirma a linha já dada: 0,\;1,\;0,\;2,\;0.
  • Para x=\tfrac{1}{2}:
    • f_1'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=0.
    • f_2'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=1.
    • f_3'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2\cdot\tfrac{1}{2}=1.
    • f_4'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2.
    • f_5'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=3\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=3\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
    Então a linha para x=\tfrac{1}{2} é 0,\;1,\;1,\;2,\;\tfrac{3}{4}.
  • Para x=1:
    • f_1'(1)=0.
    • f_2'(1)=1.
    • f_3'(1)=2\cdot1=2.
    • f_4'(1)=2.
    • f_5'(1)=3\cdot1^{2}=3.
    Então a linha para x=1 é 0,\;1,\;2,\;2,\;3.

Resposta

x=0:\;0,\;1,\;0,\;2,\;0
x=\tfrac{1}{2}:\;0,\;1,\;1,\;2,\;\tfrac{3}{4}
x=1:\;0,\;1,\;2,\;2,\;3

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