Escreva uma taxa de variação típica de uma quantidade em relação à outra tal que:
(a) Nenhuma das quantidades é o tempo:
(exemplo: 2 graus Celsius por kilômetro)

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva uma taxa de variação típica onde nenhuma das duas quantidades envolvidas é o tempo.
Informação dada: somente essa restrição (nenhuma das quantidades pode ser o tempo). O enunciado pede um exemplo concreto e típico.

Passo 2

O que é uma “taxa de variação”? Vou explicar devagarinho. Uma taxa de variação relaciona quanto uma grandeza muda quando a outra muda. Em linguagem matemática, se y depende de x, a taxa média entre dois pontos é
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Se a relação for suave e quiser a taxa instantânea, usamos a derivada
\frac{dy}{dx}.
Aqui cada taxa tem unidades: unidades de y divididas pelas unidades de x. Por exemplo, se y está em pascals e x em metros, a unidade é \mathrm{Pa\cdot m^{-1}} (lida “pascals por metro”).

Passo 3

Escolhendo um exemplo típico em que nenhuma quantidade é tempo: a variação da pressão com a profundidade em água. Isso é muito usado em física e engenharia e é um caso claro de taxa com distância como variável independente. A relação física (para fluidos incompressíveis e em equilíbrio) é
\frac{dp}{dh}=\rho g,
onde:
  • p é a pressão (unidade: \mathrm{Pa}),
  • h é a profundidade (unidade: \mathrm{m}),
  • \rho é a densidade do fluido (unidade: \mathrm{kg\cdot m^{-3}}),
  • g é a aceleração gravitacional (unidade: \mathrm{m\cdot s^{-2}}).

Passo 4

Agora calculemos um valor típico para água doce. Valores padrão:
\rho\approx 1000\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}},\qquad g\approx 9,8\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.
Multiplicando para obter a taxa:
\frac{dp}{dh}=\rho g \approx 1000\times 9,8 = 9800.
As unidades resultantes são \mathrm{kg\cdot m^{-3}\cdot m\cdot s^{-2}}=\mathrm{kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-2}}=\mathrm{Pa}, divididas por \mathrm{m}, portanto \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}. Escrevendo de forma compacta:
\frac{dp}{dh}\approx 9800\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}.

Passo 5

Interpretação prática e como usar na prova: o valor \frac{dp}{dh}\approx 9800\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}} significa que, para cada aumento de 1\\ \mathrm{m} na profundidade, a pressão aumenta aproximadamente 9800\\ \mathrm{Pa}. Se na prova pedirem para transformar em atmosferas por metro, pode dividir por 1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} etc. Em problemas com tabelas de pressão vs profundidade, basta calcular o quociente \Delta p/\Delta h para obter a taxa média; se der uma expressão contínua, use a derivada \frac{dp}{dh}.

Resposta

(a) \,9800\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}\,

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