Escreva uma taxa de variação típica de uma quantidade em relação à outra tal que:
(a) Nenhuma das quantidades é o tempo:
(exemplo: 2 graus Celsius por kilômetro)
(a) Nenhuma das quantidades é o tempo:
(exemplo: 2 graus Celsius por kilômetro)
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva uma taxa de variação típica onde nenhuma das duas quantidades envolvidas é o tempo.
Informação dada: somente essa restrição (nenhuma das quantidades pode ser o tempo). O enunciado pede um exemplo concreto e típico.
Informação dada: somente essa restrição (nenhuma das quantidades pode ser o tempo). O enunciado pede um exemplo concreto e típico.
Passo 2
O que é uma “taxa de variação”? Vou explicar devagarinho. Uma taxa de variação relaciona quanto uma grandeza muda quando a outra muda. Em linguagem matemática, se
depende de
, a taxa média entre dois pontos é
Se a relação for suave e quiser a taxa instantânea, usamos a derivada
Aqui cada taxa tem unidades: unidades de
divididas pelas unidades de
. Por exemplo, se
está em pascals e
em metros, a unidade é
(lida “pascals por metro”).
Passo 3
Escolhendo um exemplo típico em que nenhuma quantidade é tempo: a variação da pressão com a profundidade em água. Isso é muito usado em física e engenharia e é um caso claro de taxa com distância como variável independente. A relação física (para fluidos incompressíveis e em equilíbrio) é
onde:
-
é a pressão (unidade: ), -
é a profundidade (unidade: ), -
é a densidade do fluido (unidade: ), -
é a aceleração gravitacional (unidade: ).
Passo 4
Agora calculemos um valor típico para água doce. Valores padrão:
Multiplicando para obter a taxa:
As unidades resultantes são
, divididas por
, portanto
. Escrevendo de forma compacta:
Passo 5
Interpretação prática e como usar na prova: o valor
significa que, para cada aumento de
na profundidade, a pressão aumenta aproximadamente
. Se na prova pedirem para transformar em atmosferas por metro, pode dividir por
etc. Em problemas com tabelas de pressão vs profundidade, basta calcular o quociente
para obter a taxa média; se der uma expressão contínua, use a derivada
.
Resposta
(a)