Calcule o equivalente binário do número decimal 0,110. Durante a resolução, note que a representação em binário de 0,110 não pode ser expressa com uma quantidade finita de bits, isto é, a sua representação é um dízima periódica. Qual é o período dessa dízima? Qual o erro de conversão quando se tenta usar apenas cinco bits para representar a parte fracionária de 0,110 em binário?

Passo 1

O enunciado pede para converter o número decimal 0,110 em binário, mostrar que a parte fracionária é periódica e identificar o período. Em seguida devemos aproximar essa fração usando só cinco bits e calcular o erro dessa aproximação. Vamos usar o método de multiplicar sucessivamente por 2 para obter cada bit da parte fracionária.

Passo 2

Começamos com f0=0,1. A cada passo k calculamos fk = 2,fk-1 e o bit bk é a parte inteira de fk, ficando a nova fração fk - bk.
f0 &= 0,1; f1 &= 2,f0 = 0,2 ;Rightarrow; b1=0,; resto 0,2; f2 &= 2cdot0,2 = 0,4 ;Rightarrow; b2=0,; resto 0,4; f3 &= 2cdot0,4 = 0,8 ;Rightarrow; b3=0,; resto 0,8; f4 &= 2cdot0,8 = 1,6 ;Rightarrow; b4=1,; resto 0,6; f5 &= 2cdot0,6 = 1,2 ;Rightarrow; b5=1,; resto 0,2; f6 &= 2cdot0,2 = 0,4 ;Rightarrow; b6=0,; resto 0,4; e assim por diante
Isso dá a sequência de bits
0,110 = 0underbrace000110011001ldotsbinário, á

Passo 3

Observando a fração residual, vemos que ao chegar em resto 0,2 no passo 5, os próximos resíduos e bits voltam a se repetir como nos passos anteriores. A partir de b3 o bloco de bits
0110
repete indefinidamente. Podemos também escrever
0,110 = 0,000,1100ou 0,0001,1001etc
Em qualquer caso, o período tem 4 bits.

Passo 4

Para aproximar com cinco bits na parte fracionária, pegamos
b1b2b3b4b5 = 0,0,0,1,1
ou seja
0,110approx 0.000112 = 116 + 132 = 332 = 0,0937510

Passo 5

O erro de conversão (valor exato menos aproximação) é
l|0,1 - 0,09375r| = 0,0062510

Resposta

Período da dízima em binário: 4 bits.
Erro ao usar somente cinco bits: 0,00625.

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