Considere f(x, y) = (x / y) + e^(x * y), onde x(t) = 1 / t e y(t) = raiz(t), determine d f / d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função onde e . A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia de derivação, que é bem útil quando temos funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais de em relação a e . Isso significa que vamos derivar mantendo constante para e mantendo constante para .

Passo 3

Vamos calcular :
Aqui, derivamos em relação a , que dá , e derivamos em relação a , usando a regra da cadeia, resultando em .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Neste caso, derivamos em relação a , obtendo , e derivamos em relação a , que dá .

Passo 5

Em seguida, vamos derivar e em relação a :
Aqui usamos as regras básicas de derivação: a derivada de é e a derivada de é .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar :
Substituímos as derivadas que calculamos anteriormente:

Resposta

A derivada de em relação a é:
Substituindo e , você pode simplificar essa expressão para obter o resultado numérico final.

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