Use a Regra da Cadeia para determinar
, nos casos abaixo.
a)
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. O que temos:
Conteúdo envolvido: Derivadas parciais e Regra da Cadeia, que ajuda a calcular derivadas de funções compostas.
Vamos precisar:
- Derivar
em relação a e . - Derivar
e em relação a e . - Aplicar a Regra da Cadeia para juntar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
em relação a
e
.
Derivada de
em relação a
:
Usando a regra da potência:
Derivada de
em relação a
:
Similarmente:
Passo 3
Agora, vamos derivar
e
em relação a
e
.
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
e
.
Para
:
Como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, mas aqui
não depende de
, apenas
.
Como
não depende de
:
Simplificando:
Para
:
Aqui,
depende de
, que depende de
, e
não depende de
.
Como
não depende de
:
Resposta
As derivadas parciais são: