Use a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial u e partial zpartial v, nos casos abaixo.
a) z=raizx^3+y^2 ; x=u^2 e v=raiz[3]v^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O que temos:
Conteúdo envolvido: Derivadas parciais e Regra da Cadeia, que ajuda a calcular derivadas de funções compostas.
Vamos precisar:
  1. Derivar em relação a e .
  2. Derivar e em relação a e .
  3. Aplicar a Regra da Cadeia para juntar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar z = raizx^3 + y^2 = (x^3 + y^2)^12 em relação a partial zpartial x = 12(x^3 + y^2)^-12 cdot 3x^2 = 3x^22raizx^3 + y^2 e partial zpartial y = 12(x^3 + y^2)^-12 cdot 2y = yraizx^3 + y^2 .
Derivada de em relação a :
Usando a regra da potência:
Derivada de em relação a :
Similarmente:

Passo 3

Agora, vamos derivar x = u^2 e partial xpartial u = 2u em relação a y = raiz[3]v^2 = v^23 e partial ypartial v = 23v^-13 = 23 cdot 1v^13 .
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u e partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u = 3x^22raizx^3 + y^2 cdot 2u = 3x^2 cdot 2u2raizx^3 + y^2 .
Para partial zpartial u = 3x^2uraizx^3 + y^2 :
Como partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v depende de partial zpartial v = partial zpartial y cdot partial ypartial v = yraizx^3 + y^2 cdot 23v^13 = 2y3v^13 cdot raizx^3 + y^2 e , que por sua vez dependem de e , mas aqui não depende de , apenas .
Como não depende de :
Simplificando:
Para :
Aqui, depende de , que depende de , e não depende de .
Como não depende de :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 3x^2uraizx^3 + y^2
partial zpartial v = 2y3v^13 cdot raizx^3 + y^2

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