Cálcule es limites.
b) \lim_{x \rightarrow 3^{+}} \frac{5}{x^{2}-3 x}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte:
  • Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 3^{+}} \frac{5}{x^{2}-3x}.
    Informações dadas:
  • A função a ser analisada é f(x)=\dfrac{5}{x^{2}-3x}.
  • O ponto de interesse é x=3, e o limite é tomado pela direita (isto é, x aproxima-se de 3 com valores maiores que 3).

Passo 2

Identificar onde o denominador zera e sua fatoração.
  • Fatoremos o denominador:
x^{2}-3x = x(x-3).
  • As raízes (valores que tornam o denominador zero) são x=0 e x=3.
  • Como estamos estudando x\to 3^{+}, o denominador tende a zero por causa do fator (x-3) que tende a 0.

Passo 3

Analisar o sinal do denominador quando x se aproxima de 3 pela direita.
  • Para x>3 temos \\ x>0 e (x-3)>0. Logo o produto x(x-3) é positivo.
  • Como o numerador é a constante 5, que é positiva, a fração inteira \dfrac{5}{x(x-3)} é positiva sempre que x>3 (próximo de 3).
  • Além do sinal, notar que conforme x fica cada vez mais próximo de 3 por valores maiores, o fator (x-3) fica muito pequeno e positivo, fazendo o denominador ficar um número positivo muito pequeno.

Passo 4

Explicar por que isso implica que a fração cresce sem limite (aulas rápidas sobre o conceito).
  • Regra útil: se \displaystyle a é uma constante não nula e g(x)\to 0^{+} (tende a zero por valores positivos), então \dfrac{a}{g(x)} tende a crescer sem limite positivo; escrevemos isso como divergência para +\infty.
  • Aqui, o numerador é a constante 5\neq 0 e o denominador tende a 0^{+} quando x\to 3^{+}. Portanto a razão aumenta sem limite positivo conforme x se aproxima de 3 por valores maiores.
  • Para intuição numérica (exemplos concretos): tomar x=3{,}1 dá denominador 3{,}1\cdot 0{,}1 = 0{,}31 e \dfrac{5}{0{,}31}\approx 16{,}13; tomar x=3{,}01 dá denominador 3{,}01\cdot 0{,}01=0{,}0301 e \dfrac{5}{0{,}0301}\approx 166{,}11. À medida que x se aproxima mais de 3 por valores maiores, os valores da função ficam cada vez maiores.

Passo 5

Síntese do raciocínio sem repetir o símbolo final: o denominador tende a zero vindo de valores positivos, o numerador é positivo e constante, portanto a razão fica positiva e cresce sem limite quando x se aproxima de 3 por valores maiores.

Resposta

+\infty

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