Cálcule es limites.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte:
- Calcular o limite
.
Informações dadas: - A função a ser analisada é
. - O ponto de interesse é
, e o limite é tomado pela direita (isto é, aproxima-se de com valores maiores que ).
Passo 2
Identificar onde o denominador zera e sua fatoração.
- Fatoremos o denominador:
- As raízes (valores que tornam o denominador zero) são
e . - Como estamos estudando
, o denominador tende a zero por causa do fator que tende a .
Passo 3
Analisar o sinal do denominador quando
se aproxima de
pela direita.
- Para
temos e . Logo o produto é positivo. - Como o numerador é a constante
, que é positiva, a fração inteira é positiva sempre que (próximo de ). - Além do sinal, notar que conforme
fica cada vez mais próximo de por valores maiores, o fator fica muito pequeno e positivo, fazendo o denominador ficar um número positivo muito pequeno.
Passo 4
Explicar por que isso implica que a fração cresce sem limite (aulas rápidas sobre o conceito).
- Regra útil: se
é uma constante não nula e (tende a zero por valores positivos), então tende a crescer sem limite positivo; escrevemos isso como divergência para . - Aqui, o numerador é a constante
e o denominador tende a quando . Portanto a razão aumenta sem limite positivo conforme se aproxima de por valores maiores. - Para intuição numérica (exemplos concretos): tomar
dá denominador e ; tomar dá denominador e . À medida que se aproxima mais de por valores maiores, os valores da função ficam cada vez maiores.
Passo 5
Síntese do raciocínio sem repetir o símbolo final: o denominador tende a zero vindo de valores positivos, o numerador é positivo e constante, portanto a razão fica positiva e cresce sem limite quando
se aproxima de
por valores maiores.