(2 pontos) Na Administração, um conceito fundamental é o Custo Médio de Produção. Imagine que uma pequena fábrica de calçados possui um custo fixo mensal de \mathrm{R} \ 6.000,00 (aluguel, energia, salários) e um custo variável deáá\mathrm{R} $12,00$ por par produzido. O custo médio por par é dado pela função:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Custo fixo mensal: \,6000 reais (despesas que não dependem da produção).
  • Custo variável por par produzido: \,12 reais por par.
    O que o enunciado pede (implícito pela frase incompleta): escrever a expressão do custo médio por par produzidos e entender seu comportamento. Vou portanto encontrar a função que dá o custo médio por par em função da quantidade produzida x.

Passo 2

Definição de variáveis (sempre comece por isso para não se perder):
  • Seja x o número de pares produzidos no mês. Aqui assumimos x>0 (não faz sentido produzir zero pares ao dividir por x; se quiser considerar x inteiro, isso vale também, mas para análise contínua tratamos x como real positivo).
  • Seja C_{\text{total}}(x) o custo total em reais quando se produzem x pares.
  • Seja C_{\text{médio}}(x)é o custo médio por par (o que queremos).

Passo 3

Montar o custo total: custo total é a soma do custo fixo com o custo variável proporcional a x. Então
C_{\text{total}}(x)=6000+12x.
Expliquei: 6000 representa despesas fixas (independem de x); 12x é 12 reais por par multiplicado por x pares.

Passo 4

Definir custo médio: por definição, custo médio por unidade é o custo total dividido pelo número de unidades produzidas. Portanto
C_{\text{médio}}(x)=\frac{C_{\text{total}}(x)}{x}.é
Substituindo C_{\text{total}}(x) da etapa anterior:
C_{\text{médio}}(x)=\frac{6000+12x}{x}.é
Isto é a função pedida.

Passo 5

Simplificar a expressão para ficar mais clara: dividir termo a termo por x.
C_{\text{médio}}(x)=\frac{6000}{x}+12.é
Interpretação das parcelas:
  • \dfrac{6000}{x} é a parcela do custo fixo rateada por par (quanto maior x, menor essa parcela).
  • 12 é exatamente o custo variável por par — é a parte que não diminui com mais produção.

Passo 6

Domínio e observações práticas:
  • Matemáticamente o domínio é x\in(0,\infty).
  • No mundo real x costuma ser inteiro e não negativo, mas para estudar comportamento e derivada usamos x>0.

Passo 7

Estudar monotonicidade (como a função varia com x). Primeiro calcule a derivada para ver se C_{\text{médio}}é sobe ou desce:
a) Escrevendo C_{\text{médio}}(x)=6000x^{-1}+12é.
b) Derivando:
C_{\text{médio}}'(x)=-6000x^{-2}.é
Como x^{-2}>0 para x>0, concluímos que C_{\text{médio}}'(x)<0é para todo x>0. Logo C_{\text{médio}}é é estritamente decrescente em todo o domínio: à medida que produz mais pares, o custo médio por par diminui.

Passo 8

Limite quando a produção cresce muito (intuição econômica importante): calcular
\lim_{x\to\infty}C_{\text{médio}}(x)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{6000}{x}+12\right)=0+12=12.é
Interpretação: à medida que a fábrica produz infinitamente, a parcela do custo fixo por par tende a zero, e o custo médio tende ao custo variável por par, que é \,12 reais. Esse é o menor valor assintótico possível do custo médio — um ínfimo, não atingido para x finito.

Passo 9

Exemplos numéricos (para ganhar intuição e poder usar na prova):
  • Se x=500 pares,
C_{\text{médio}}(500)=\frac{6000}{500}+12=\;12+12=24\\ \text{reais por par}.é
  • Se x=1000 pares,
C_{\text{médio}}(1000)=\frac{6000}{1000}+12=6+12=18\\ \text{reais por par}.é
Esses cálculos mostram como o custo médio cai quando aumenta x: de 24 para 18 ao dobrar de 500 para 1000.

Resposta

C_{\text{médio}}(x)=\frac{6000+12x}{x}=\frac{6000}{x}+12,\quad x>0.é

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