(2 pontos) Na Administração, um conceito fundamental é o Custo Médio de Produção. Imagine que uma pequena fábrica de calçados possui um custo fixo mensal de
6.000,00
\mathrm{R} $12,00$ por par produzido. O custo médio por par é dado pela função:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Custo fixo mensal:
reais (despesas que não dependem da produção). - Custo variável por par produzido:
reais por par.
O que o enunciado pede (implícito pela frase incompleta): escrever a expressão do custo médio por par produzidos e entender seu comportamento. Vou portanto encontrar a função que dá o custo médio por par em função da quantidade produzida.
Passo 2
Definição de variáveis (sempre comece por isso para não se perder):
- Seja
o número de pares produzidos no mês. Aqui assumimos (não faz sentido produzir zero pares ao dividir por ; se quiser considerar inteiro, isso vale também, mas para análise contínua tratamos como real positivo). - Seja
o custo total em reais quando se produzem pares. - Seja
o custo médio por par (o que queremos).
Passo 3
Montar o custo total: custo total é a soma do custo fixo com o custo variável proporcional a
. Então
Expliquei:
representa despesas fixas (independem de
);
é
reais por par multiplicado por
pares.
Passo 4
Definir custo médio: por definição, custo médio por unidade é o custo total dividido pelo número de unidades produzidas. Portanto
Substituindo
da etapa anterior:
Isto é a função pedida.
Passo 5
Simplificar a expressão para ficar mais clara: dividir termo a termo por
.
Interpretação das parcelas:
-
é a parcela do custo fixo rateada por par (quanto maior , menor essa parcela). -
é exatamente o custo variável por par — é a parte que não diminui com mais produção.
Passo 6
Domínio e observações práticas:
- Matemáticamente o domínio é
. - No mundo real
costuma ser inteiro e não negativo, mas para estudar comportamento e derivada usamos .
Passo 7
Estudar monotonicidade (como a função varia com
). Primeiro calcule a derivada para ver se
sobe ou desce:
a) Escrevendo .
b) Derivando:
a) Escrevendo
b) Derivando:
Como
para
, concluímos que
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em todo o domínio: à medida que produz mais pares, o custo médio por par diminui.
Passo 8
Limite quando a produção cresce muito (intuição econômica importante): calcular
Interpretação: à medida que a fábrica produz infinitamente, a parcela do custo fixo por par tende a zero, e o custo médio tende ao custo variável por par, que é
reais. Esse é o menor valor assintótico possível do custo médio — um ínfimo, não atingido para
finito.
Passo 9
Exemplos numéricos (para ganhar intuição e poder usar na prova):
- Se
pares,
- Se
pares,
Esses cálculos mostram como o custo médio cai quando aumenta
: de
para
ao dobrar de
para
.