Calcule, se existir, cada um dos limites
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando ele existir:
Informações dadas:
- A expressão a ser estudada é
. - O ponto de interesse é
. - Não há outras informações extras ou imagens.
Passo 2
Teste de substituição direta (checar a forma indeterminada). Substituindo
na expressão, o numerador vira
e o denominador é
. Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Explicação do método escolhido (racionalização): quando aparece uma raiz na diferença do numerador, um truque clássico e elementar é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Multiplicar pela fração equivalente a
com esse conjugado elimina a raiz no numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
Aqui
e
.
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador por
. Escrevendo isso,
Agora aplicamos a identidade de diferença de quadrados no numerador:
Passo 5
Substituindo o resultado do numerador temos
Como estamos analisando o limite quando
, podemos simplificar (para
) o fator
no numerador e no denominador:
Portanto, para
próximo de
(mas não igual a
) a expressão original é igual a
.
Passo 6
Agora que removemos a indeterminação, podemos tomar o limite por substituição direta:
Passo 7
Interpretação didática e observação extra: esse limite é um caso especial de uma regra mais geral:
para
. No caso dado,
e obtemos
. Outra forma de ver isso (mais avançada) é reconhecer que o limite é a derivada em
da função
, e
, logo
.