Calcule, se existir, cada um dos limites
(c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{25+x}-5}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando ele existir:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{25+x}-5}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser estudada é \dfrac{\sqrt{25+x}-5}{x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Não há outras informações extras ou imagens.

Passo 2

Teste de substituição direta (checar a forma indeterminada). Substituindo x=0 na expressão, o numerador vira
\sqrt{25+0}-5=\sqrt{25}-5=5-5=0,
e o denominador é 0. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Explicação do método escolhido (racionalização): quando aparece uma raiz na diferença do numerador, um truque clássico e elementar é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de \sqrt{25+x}-5 é \sqrt{25+x}+5. Multiplicar pela fração equivalente a 1 com esse conjugado elimina a raiz no numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui a=\sqrt{25+x} e b=5.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{25+x}+5. Escrevendo isso,
\frac{\sqrt{25+x}-5}{x}\cdot\frac{\sqrt{25+x}+5}{\sqrt{25+x}+5} = \frac{(\sqrt{25+x}-5)(\sqrt{25+x}+5)}{x\big(\sqrt{25+x}+5\big)}.
Agora aplicamos a identidade de diferença de quadrados no numerador:
(\sqrt{25+x}-5)(\sqrt{25+x}+5) = (\sqrt{25+x})^{2}-5^{2} = (25+x)-25 = x.

Passo 5

Substituindo o resultado do numerador temos
\frac{(\sqrt{25+x}-5)(\sqrt{25+x}+5)}{x\big(\sqrt{25+x}+5\big)} = \frac{x}{x\big(\sqrt{25+x}+5\big)}.
Como estamos analisando o limite quando x\to 0, podemos simplificar (para x\neq 0) o fator x no numerador e no denominador:
\frac{x}{x\big(\sqrt{25+x}+5\big)} = \frac{1}{\sqrt{25+x}+5},\qquad (x\neq 0).
Portanto, para x próximo de 0 (mas não igual a 0) a expressão original é igual a \dfrac{1}{\sqrt{25+x}+5}.

Passo 6

Agora que removemos a indeterminação, podemos tomar o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{25+x}+5} = \frac{1}{\sqrt{25+0}+5} = \frac{1}{5+5} = \frac{1}{10}.

Passo 7

Interpretação didática e observação extra: esse limite é um caso especial de uma regra mais geral:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a}}{x}=\frac{1}{2\sqrt{a}}
para a>0. No caso dado, a=25 e obtemos \dfrac{1}{2\cdot 5}=\dfrac{1}{10}. Outra forma de ver isso (mais avançada) é reconhecer que o limite é a derivada em x=0 da função f(x)=\sqrt{25+x}, e f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{25+x}}, logo f'(0)=\dfrac{1}{10}.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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