Calcule a esfericidade dos seguintes corpos geométricos:
Cilindro
Cilindro
Passo 1
O enunciado pede: calcular a esfericidade do cilindro cuja altura é igual ao diâmetro, ou seja
.
Informações dadas: o corpo é um cilindro com diâmetro e altura
e vale a condição
.
O que se pede: a esfericidade numérica (uma medida adimensional entre 0 e 1) desse cilindro.
Informações dadas: o corpo é um cilindro com diâmetro
O que se pede: a esfericidade numérica (uma medida adimensional entre 0 e 1) desse cilindro.
Passo 2
Definição e fórmula da esfericidade — aula rápida e prática.
Esfericidade ( ) é definida como a razão entre a área de superfície de uma esfera que tem o mesmo volume do corpo e a área de superfície do próprio corpo. Em símbolos:
Esfericidade (
Agora precisamos de uma expressão prática para
em função do volume
do corpo. Se a esfera tem volume
, seu raio
satisfaz
Daí
A área da esfera é
Podemos simplificar essa expressão. Fazendo as potências e fatores constantes obtemos a forma conveniente
Portanto a fórmula usada para a esfericidade é
onde
é o volume do corpo e
é a área de superfície total do corpo. (Aqui
inclui bases e superfície lateral para o cilindro.)
Passo 3
Determine
e
do cilindro (com
).
Defina o raio do cilindro por . Como o diâmetro é
, temos
Defina o raio do cilindro por
Volume do cilindro:
Substituindo
e
:
Área de superfície total do cilindro (lateral + 2 bases):
Substituindo
e
:
- área lateral:
- áreas das duas bases:
Somando:
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da esfericidade e simplificar passo a passo.
Partimos de
Partimos de
Calcule
:
Logo
porque
. Agora o numerador
O denominador é
. Dividindo:
Como
, temos
Passo 5
Interpretação e aproximação numérica.
A forma fechada exata da esfericidade do cilindro com é
A forma fechada exata da esfericidade do cilindro com
Aproximando numericamente:
Isso diz que esse cilindro é razoavelmente “esférico” (a esfericidade está perto de
), lembrando que a esfericidade máxima é
(esfera perfeita).