Calcule a esfericidade dos seguintes corpos geométricos:
Cilindro (\mathrm{h}=\mathrm{D})

Passo 1

O enunciado pede: calcular a esfericidade do cilindro cuja altura é igual ao diâmetro, ou seja h = D.
Informações dadas: o corpo é um cilindro com diâmetro D e altura h e vale a condição h=D.
O que se pede: a esfericidade numérica (uma medida adimensional entre 0 e 1) desse cilindro.

Passo 2

Definição e fórmula da esfericidade — aula rápida e prática.
Esfericidade ( \Psi) é definida como a razão entre a área de superfície de uma esfera que tem o mesmo volume do corpo e a área de superfície do próprio corpo. Em símbolos:
\Psi=\frac{A_{\text{esfera\_mesmo\_V}}}{A_{\text{corpo}}}.
Agora precisamos de uma expressão prática para A_{\text{esfera\_mesmo\_V}} em função do volume V do corpo. Se a esfera tem volume V, seu raio r_s satisfaz
\frac{4}{3}\pi r_s^3 = V.
Daí
r_s=\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3}.
A área da esfera é
A_s = 4\pi r_s^2 = 4\pi\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{2/3}.
Podemos simplificar essa expressão. Fazendo as potências e fatores constantes obtemos a forma conveniente
A_s = \pi^{1/3}(6V)^{2/3}.
Portanto a fórmula usada para a esfericidade é
\Psi=\frac{\pi^{1/3}(6V)^{2/3}}{A},
onde V é o volume do corpo e A é a área de superfície total do corpo. (Aqui A inclui bases e superfície lateral para o cilindro.)

Passo 3

Determine V e A do cilindro (com h=D).
Defina o raio do cilindro por r. Como o diâmetro é D, temos
r=\frac{D}{2}.
Volume do cilindro:
V=\pi r^2 h.
Substituindo r=\tfrac{D}{2} e h=D:
V=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 D=\pi\frac{D^3}{4}.
Área de superfície total do cilindro (lateral + 2 bases):
A = 2\pi r h + 2\pi r^2.
Substituindo r=\tfrac{D}{2} e h=D:
  • área lateral:
2\pi r h = 2\pi\left(\frac{D}{2}\right)D = \pi D^2,
  • áreas das duas bases:
2\pi r^2 = 2\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{2}.
Somando:
A=\pi D^2 + \frac{\pi D^2}{2}=\frac{3}{2}\pi D^2.

Passo 4

Substituir V e A na fórmula da esfericidade e simplificar passo a passo.
Partimos de
\Psi=\frac{\pi^{1/3}(6V)^{2/3}}{A}.
Calcule 6V:
6V=6\cdot\pi\frac{D^3}{4}=\frac{3}{2}\pi D^3.
Logo
(6V)^{2/3}=\left(\frac{3}{2}\pi D^3\right)^{2/3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}\pi^{2/3}D^2,
porque \left(D^3\right)^{2/3}=D^2. Agora o numerador
\pi^{1/3}(6V)^{2/3}=\pi^{1/3}\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}\pi^{2/3}D^2=\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}\pi D^2.
O denominador é A=\tfrac{3}{2}\pi D^2. Dividindo:
\Psi=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}\pi D^2}{\frac{3}{2}\pi D^2}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}}{\frac{3}{2}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3-1}.
Como 2/3-1=-1/3, temos
\Psi=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1/3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}.

Passo 5

Interpretação e aproximação numérica.
A forma fechada exata da esfericidade do cilindro com h=D é
\Psi=\left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}.
Aproximando numericamente:
\Psi\approx 0,8736.
Isso diz que esse cilindro é razoavelmente “esférico” (a esfericidade está perto de 0,87), lembrando que a esfericidade máxima é 1 (esfera perfeita).

Resposta

\Psi=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1/3}
\Psi\approx 0,8736

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