Um vaso de destilação flash opera a pressão de 101,3 \mathrm{kPa} é usado para separar uma mistura etanol água. A mistura alimentada é de 40 \mathrm{~mol} \% de etanol e \mathrm{F}=100 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}.
a) Quais são a composição máxima de etanol na fase vapor e a composição mínima de etanol na fase líquida assumindo que V / F é permitido variar livremente?
b) \mathrm{Se} V / F=2 / 3, quais são as composições das fases líquida e vapor?
c) Repita (b) dado que F é especificado como 1000 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado dá uma mistura etanol–água com composição de alimentação \,z_F=40\% em mol (ou seja \,z_F=0,40 em fração molar) e vazão F=100\\ \mathrm{kmol/h}. O vaso de flash opera à pressão \,P=101{,}3\\ \mathrm{kPa}. Perguntas:
a) Supondo que a fração vaporizada \,V/F possa variar livremente, quais são (i) a composição máxima de etanol na fase vapor e (ii) a composição mínima de etanol na fase líquida?
b) Se \,V/F=2/3, quais são as composições de etanol nas fases líquida e vapor (isto é, x e y)?
c) Repita (b) dado que F é especificado como 1000\\ \mathrm{kmol/h}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \,z_F=0,40, F=100\\ \mathrm{kmol/h} (salvo em (c) onde é 1000), P=101{,}3\\ \mathrm{kPa}. Não há outros dados numéricos no enunciado (por ex. curvas VLE), portanto usaremos a aproximação de solução ideal com a lei de Raoult e equações de Antoine padrão para etanol e água para obter P_i^{\text{sat}}(T). A conta numérica será feita para P convertida em \mathrm{mmHg}, porque as constantes de Antoine que usaremos dão P^{\text{sat}} em \mathrm{mmHg}.

Passo 2

Princípios e equações que vamos usar (explicados didaticamente):
  1. Lei de Raoult (solução ideal, binário etanol (1) – água (2)). Para uma temperatura T e pressão total P,
y_1 \;=\; \frac{x_1\,P_1^{\text{sat}}(T)}{P}
onde x_1 é a fração molar de etanol na fase líquida, y_1 é a fração molar de etanol na fase vapor, e P_1^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do etanol puro à temperatura T. Para o segundo componente (água) vale análogo.
  1. Temperatura de bolha (para um líquido com composição x_1) é obtida resolvendo
x_1\,P_1^{\text{sat}}(T) + (1-x_1)\,P_2^{\text{sat}}(T) \;=\; P.
Depois de achar T satisfazendo essa equação, o vapor em equilíbrio tem y_1 dado pela fórmula da Raoult acima.
  1. Temperatura de orvalho (para um vapor com composição y_1) é obtida resolvendo
\frac{y_1\,P}{P_1^{\text{sat}}(T)} + \frac{(1-y_1)\,P}{P_2^{\text{sat}}(T)} \;=\; 1,
ou equivalentemente \,y_1 P / P_1^{\text{sat}}(T) + (1-y_1) P / P_2^{\text{sat}}(T)=1. Depois de achar T, a composição líquida de equilíbrio é x_1 = y_1 P / P_1^{\text{sat}}(T).
  1. Balanço de matéria (etanol) para flash: com fração vaporizada \varphi = V/F,
z_F = \varphi\,y_1 + (1-\varphi)\,x_1.
Isto relaciona \,x_1 e \,y_1 para um dado \varphi.
  1. Para obter P_i^{\text{sat}}(T) usamos a equação de Antoine na forma
\log_{10} P_i^{\text{sat}}(T) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i},
onde P^{\text{sat}} fica em \mathrm{mmHg} e T em ^\circ\mathrm{C}. Usarei constantes padrão (tabeladas) para a faixa de temperaturas aqui:
  • Etanol (1): A_1=8{,}20417,\;B_1=1642{,}89,\;C_1=230{,}3.
  • Água (2): A_2=8{,}07131,\;B_2=1730{,}63,\;C_2=233{,}426.
  1. Conversão de pressão: 1\\ \mathrm{mmHg}=0{,}133322\\ \mathrm{kPa}. Com P=101{,}3\\ \mathrm{kPa} isto equivale a P\approx 760\\ \mathrm{mmHg} (valor esperado a 1 atm). Para simplificar os cálculos com Antoine, tomaremos P=760\\ \mathrm{mmHg}.
Resumo do método prático:
  • Para a parte (a) determinamos extremos possíveis usando a condição de equilíbrio para x=z_F (pequeno vapor equilibrado com líquido na composição da alimentação) e para y=z_F (pequeno líquido equilibrado com vapor na composição da alimentação). Estas são condições clássicas que fornecem a composição máxima do vapor e a mínima do líquido quando a fração vaporizada pode variar livremente.
  • Para (b) e (c) fazemos as equações conjuntas de equilíbrio (bolha) e balanço de matéria e resolvemos numericamente para x_1 e y_1 com \varphi=2/3.
Agora vamos às contas, mostrando os passos numéricos.

Passo 3

Cálculo da composição máxima de etanol na fase vapor (parte (a), item (i)) — isto corresponde ao vapor em equilíbrio com um líquido de composição igual à alimentação: x_1 = z_F = 0,40.
  1. Para x_1=0,40 precisamos achar a temperatura de bolha T_b tal que
0{,}40\,P_1^{\text{sat}}(T_b) + 0{,}60\,P_2^{\text{sat}}(T_b) = 760\\ \mathrm{mmHg}.
  1. Avaliando P_i^{\text{sat}}(T) com Antoine e procurando T_b por tentativa (mostro os passos de iteração):
  • Em T=78^\circ\mathrm{C} (ponto de ebulição do etanol puro a 1 atm): P_1^{\text{sat}}\approx 760\\ \mathrm{mmHg}, P_2^{\text{sat}}\approx 326\\ \mathrm{mmHg}. Somatório =0{,}4\cdot760 + 0{,}6\cdot326 \approx 499{,}4\\ \mathrm{mmHg} (muito abaixo de 760).
  • Em T=90^\circ\mathrm{C}: P_1^{\text{sat}}\approx 1193\\ \mathrm{mmHg},\;P_2^{\text{sat}}\approx 529\\ \mathrm{mmHg}. Somatório =0{,}4\cdot1193 + 0{,}6\cdot529 \approx 794{,}3\\ \mathrm{mmHg} (acima de 760).
  • Fazendo interpolação/iteração entre 88^\circ\mathrm{C} e 89^\circ\mathrm{C} encontra-se T_b\approx 88{,}89^\circ\mathrm{C} que satisfaz a equação (mostrei checagens rápidas na análise). Para esse T_b obtém-se P_1^{\text{sat}}(T_b)\approx 1143\\ \mathrm{mmHg}.
  1. A fração molar de etanol na fase vapor correspondente é
y_{1,\max} \;=\; \frac{x_1\,P_1^{\text{sat}}(T_b)}{P} = \frac{0{,}40 \cdot 1143}{760} \approx 0{,}602.
Portanto a composição máxima de etanol na fase vapor é aproximadamente \,y_{1,\max}=0{,}602 (ou 60{,}2\% em mol).

Passo 4

Cálculo da composição mínima de etanol na fase líquida (parte (a), item (ii)) — isto corresponde ao líquido em equilíbrio com um vapor de composição igual à alimentação: y_1 = z_F = 0,40.
  1. Para y_1=0,40 achamos a temperatura de orvalho T_d resolvendo
\frac{0{,}40\cdot 760}{P_1^{\text{sat}}(T_d)} + \frac{0{,}60\cdot 760}{P_2^{\text{sat}}(T_d)} = 1.
  1. Fazendo iterações com Antoine:
  • Em T=90^\circ\mathrm{C} o lado esquerdo \approx 1{,}12 (acima de 1).
  • Em T=95^\circ\mathrm{C} o lado esquerdo \approx 0{,}93 (abaixo de 1).
  • Interpolando/iterando, encontra-se T_d\approx 93{,}07^\circ\mathrm{C}.
  1. A fração molar de etanol na fase líquida correspondente é calculada por
x_{1,\min} \;=\; \frac{y_1\,P}{P_1^{\text{sat}}(T_d)} = \frac{0{,}40 \cdot 760}{P_1^{\text{sat}}(93{,}07^\circ\mathrm{C})}.
Com P_1^{\text{sat}}(93{,}07^\circ\mathrm{C})\approx 1320\\ \mathrm{mmHg} obtemos
x_{1,\min} \approx \frac{304}{1320} \approx 0{,}230.
Portanto a composição mínima de etanol na fase líquida é aproximadamente \,x_{1,\min}=0{,}230 (ou 23{,}0\% em mol).

Passo 5

Resolvendo (b): \,V/F=2/3 (isto é, \varphi=2/3). Queremos x_1 e y_1 que satisfaçam simultaneamente equilíbrio e balanço:
Equilíbrio (condição de bolha para o líquido da qual parte o vapor):
x_1\,P_1^{\text{sat}}(T) + (1-x_1)\,P_2^{\text{sat}}(T) = 760.
Vapor em equilíbrio:
y_1 = \frac{x_1\,P_1^{\text{sat}}(T)}{760}.
Balanço de etanol:
0{,}40 = \frac{2}{3}\,y_1 + \frac{1}{3}\,x_1.
Podemos combinar as equações: a partir do balanço obtemos x_1 = 1{,}2 - 2\,y_1. Mas é mais prático proceder iterativamente: escolho um palpite para x_1, calculo T da equação de bolha, depois y_1 e então verifico o balanço; ajusto x_1 até satisfy.
Iteração (mostro os passos-chave):
  1. Palpite x_1=0{,}30. Resolver bolha dá T\approx 91{,}35^\circ\mathrm{C} (veja análise), com P_1^{\text{sat}}\approx 1242{,}4\\ \mathrm{mmHg}. Então
y_1 = \frac{0{,}30\cdot1242{,}4}{760} \approx 0{,}490.
Balanço: z = \tfrac{2}{3}\cdot0{,}490 + \tfrac{1}{3}\cdot0{,}30 \approx 0{,}4267 (maior que 0{,}40), então preciso reduzir x_1.
  1. Palpite x_1=0{,}27. Bolha \Rightarrow T\approx 92{,}05^\circ\mathrm{C}, P_1^{\text{sat}}\approx1275{,}2\\ \mathrm{mmHg}. Então
y_1 = \frac{0{,}27\cdot1275{,}2}{760} \approx 0{,}453.
Balanço: z \approx \tfrac{2}{3}\cdot0{,}453 + \tfrac{1}{3}\cdot0{,}27 \approx 0{,}392 (agora menor que 0{,}40), portanto a solução está entre x_1=0{,}27 e x_1=0{,}30.
  1. Interpolando/iterando com mais detalhe obtém-se a solução:
x_1 \approx 0{,}277,\qquad T\approx 91{,}90^\circ\mathrm{C}.
Calculando P_1^{\text{sat}}(91{,}90^\circ\mathrm{C})\approx 1269\\ \mathrm{mmHg}
y_1 = \frac{0{,}277\cdot1269}{760} \approx 0{,}463.
Verificação do balanço: z = \tfrac{2}{3}\cdot0{,}463 + \tfrac{1}{3}\cdot0{,}277 \approx 0{,}4007 (próximo de 0{,}40 — diferença numérica pequena de iteração).
Conclusão para (b): \,x_1\approx 0{,}277 (27,7 mol% etanol no líquido) e \,y_1\approx 0{,}463 (46,3 mol% etanol no vapor). Temperatura de equilíbrio por volta de 91{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Resposta para (c): se F é especificado como 1000\\ \mathrm{kmol/h} mas a fração vaporizada \varphi=V/F permanece 2/3, as composições em fase x_1 e y_1 não dependem do valor absoluto de F (elas dependem apenas de z_F, \varphi e das relações de equilíbrio). Logo as composições são as mesmas de (b): x_1\approx0{,}277 e y_1\approx0{,}463. (O caudal absoluto F altera somente as vazões V e L, não as frações molares.)

Resposta

a) y_{1,\max}\approx 0{,}602 \quad x_{1,\min}\approx 0{,}230
b) x_1\approx 0{,}277,\quad y_1\approx 0{,}463
c) x_1\approx 0{,}277,\quad y_1\approx 0{,}463

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