Questão 3.15 (Azevedo e Alves) Pretendem destilar-se 100 \mathrm{~mol} / \mathrm{h} de uma solução metanol/água com 60 \mathrm{~mol} \% de metanol por destilação flash à pressão atmosférica para produzir um destilado com 75 \mathrm{~mol} \% de metanol.
a) Determine as vazões de líquido e de vapor resultantes.
b) Calcule a temperatura dentro do separador de fases.
c) Determine a temperatura antes da válvula de expansão.
d) Por exigência do processo de fabricação pretende aumentar-se a composição do destilado para 90 \mathrm{~mol} \% de metanol. Verifique se este objetivo pode ser atingido usando a mesma alimentação e o mesmo separador. Em caso afirmativo, especifique os parâmetros que deveriam ser modificados.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas. Vou listar tudo de forma clara para não nos perdermos:
  • Alimentação: \displaystyle F=100\\ \mathrm{mol/h}.
  • Composição da alimentação (fração molar de metanol): \displaystyle z_F=0{,}60.
  • Operação: destilação flash à pressão atmosférica ( \displaystyle P=1\\ \mathrm{atm}).
  • Objetivo atual: obter um destilado (vapor que se condensa) com composição de metanol \displaystyle y_D=0{,}75 (ou seja, fração molar no vapor/condensado).
  • Perguntas:
    a) Determine as vazões de líquido e de vapor resultantes do flash (ou seja, L e V em \mathrm{mol/h}).
    b) Calcule a temperatura dentro do separador de fases (temperatura de equilíbrio vapor–líquido no drum).
    c) Determine a temperatura antes da válvula de expansão.
    d) Se quisermos um destilado com \displaystyle y_D=0{,}90 usando a mesma alimentação e o mesmo separador (mesma pressão), verifique se isso é possível; se sim, diga que parâmetros mudar, e se não, diga por quê e o que seria necessário.
Observações importantes (vou adotá-las para poder resolver com os dados que o enunciado normalmente pressupõe):
  • Vou assumir solução ideal com a Lei de Raoult (explicarei por quê e como usar).
  • Vou usar equações de Antoine para obter pressões de vapor dos componentes (metanol e água) e daí calcular as constantes de equilíbrio K_i=p_i^{\text{sat}}/P.
  • Se alguma dessas hipóteses não for a que seu professor usa, a ideia e o procedimento continuam os mesmos; muda só a entrada numérica.

Passo 2

Breve revisão da teoria que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Equilíbrio vapor–líquido ideal (Lei de Raoult): para um componente i em solução líquida ideal, a pressão parcial no vapor é
p_i = x_i\,p_i^{\text{sat}}(T),
onde \displaystyle x_i é a fração molar do componente i no líquido, e \displaystyle p_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do componente puro na temperatura T.
  • Fração molar no vapor y_i é
y_i = \frac{p_i}{P} = \frac{x_i\,p_i^{\text{sat}}(T)}{P}.
Para uma mistura binária (metanol = M, água = W) a relação entre y e x pode ser escrita em termos de constantes K_i:
K_i(T) = \frac{p_i^{\text{sat}}(T)}{P},\qquad y = \frac{K_M\,x}{K_M\,x + K_W\,(1-x)}.
Esta última fórmula é útil porque reúne Raoult em uma relação direta y versus x e T.
  • Balanços de matéria no flash:
    • Balanço total: \displaystyle F = V + L.
    • Balanço do componente (metanol): \displaystyle F z_F = V y + L x.
    • Das duas equações anteriores podemos eliminar V e obter
L(x-y) = F(z_F - y)\quad\Rightarrow\quad L = \frac{F(z_F - y)}{x - y}.
Essa fórmula é extremamente útil: se conhecemos y (dado) e conseguimos x (pela condição de equilíbrio, que depende de T), então obtemos L e V=F-L.
  • Como obter p_i^{\text{sat}}(T): usamos a equação de Antoine (forma que dá p_i^{\text{sat}} em mmHg). Para consistência numérica uso os parâmetros (comuns em livros didáticos):
    • Metanol (M): \displaystyle \log_{10} p_M^{\text{sat}} = 8{,}0724 - \dfrac{1582{,}271}{T_C + 239{,}726}.
    • Água (W): \displaystyle \log_{10} p_W^{\text{sat}} = 8{,}07131 - \dfrac{1730{,}63}{T_C + 233{,}426}.
      Aqui T_C é a temperatura em graus Celsius e p^{\text{sat}} sai em mmHg; para obter K_i dividimos por 760\\ \mathrm{mmHg}=1\\ \mathrm{atm}.
Explico por que essas escolhas são razoáveis: Raoult + Antoine é a primeira abordagem padrão para VLE quando a solução é tratada como relativamente ideal. É simples, fornece uma estimativa boa para cálculos elementares, e é o que a maioria dos exercícios de aula pede.

Passo 3

Determinar x como função de T quando o vapor tem \displaystyle y=0{,}75.
A partir da fórmula do equilíbrio:
y = \frac{K_M x}{K_M x + K_W(1-x)}.
Isolando x (álgebra passo a passo):
y\big(K_M x + K_W(1-x)\big) = K_M x
yK_M x + yK_W - yK_W x = K_M x
yK_W = x\big(K_M - yK_M + yK_W\big)= x\big(K_M(1-y)+yK_W\big)
Logo
\boxed{\,x(T)=\dfrac{y\,K_W(T)}{K_M(T)(1-y)+y\,K_W(T)}\,}.
Esta expressão diz: para cada temperatura T (que define K_M e K_W), existe um valor de x em equilíbrio com o vapor de fração y.
Agora vou calcular numericamente para encontrar um T representativo do separador. Não há outra equação energética fornecida no enunciado, então o que se costuma fazer (e vamos fazer aqui) é determinar a temperatura de equilíbrio que corresponde às pressões de vapor calculadas e à composição de vapor desejada; isto equivale a encontrar um T tal que a relação de equilíbrio produza valores físicos de x (entre 0 e 1) e, com esse x, obter L e V. Vou resolver numericamente (iterações simples / interpolação) até chegar a um T consistente.

Passo 4

Cálculo prático: escolha inicial de T e cálculo das pressões de vapor via Antoine.
Primeiro estimativa: tente T_C=65{^\circ}\mathrm{C}.
  • Para metanol:
\log_{10} p_M^{\text{sat}} = 8{,}0724 - \frac{1582{,}271}{65 + 239{,}726} = 2{,}88054\quad\Rightarrow\quad p_M^{\text{sat}}\approx 10^{2{,}88054}\approx 759\\ \mathrm{mmHg}.
K_M = \frac{759}{760}\approx 0{,}999.
  • Para água:
\log_{10} p_W^{\text{sat}} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{65 + 233{,}426} = 2{,}27131\quad\Rightarrow\quad p_W^{\text{sat}}\approx 186{,}8\\ \mathrm{mmHg}.
K_W = \frac{186{,}8}{760}\approx 0{,}2458.
Agora use a fórmula para x com y=0{,}75:
x = \frac{0{,}75\cdot 0{,}2458}{0{,}999\cdot(1-0{,}75) + 0{,}75\cdot 0{,}2458} = \frac{0{,}18435}{0{,}24975 + 0{,}18435} = \frac{0{,}18435}{0{,}43410}\approx 0{,}4248.
Esse x está entre 0 e 1, então é físico. Agora o balanço para obter L:
L = \frac{F(z_F - y)}{x - y} = \frac{100(0{,}60 - 0{,}75)}{0{,}4248 - 0{,}75} = \frac{100(-0{,}15)}{-0{,}3252}\approx 46{,}14\\ \mathrm{mol/h}.
E
V = F - L = 100 - 46{,}14 = 53{,}86\\ \mathrm{mol/h}.
Comentários didáticos rápidos:
  • Observe que o sinal ficou certo: z_F-y<0 e x-y<0, portanto L>0. Fizemos a álgebra do balanço com cuidado para evitar erro de sinal.
  • Os valores numéricos foram arredondados com 3 dígitos significativos razoáveis para um exercício de sala.

Passo 5

Temperatura dentro do separador (resultado do equilíbrio) — conclusão e justificativa:
No cálculo anterior escolhemos T_C=65{^\circ}\mathrm{C} e obtivemos um x físico e vazões consistentes. Em termos interpretativos, isso significa que, sob as hipóteses adotadas (Raoult, Antoine), o par (x\approx0{,}4248,\\ y=0{,}75) está em equilíbrio aproximadamente em \displaystyle T\approx 65{^\circ}\mathrm{C}. Em outros termos, a temperatura de equilíbrio do separador (temperatura do vapor e do líquido em equilíbrio) é aproximadamente
\boxed{T_{\text{sep}}\approx 65{^\circ}\mathrm{C}.}
Observação sobre unicidade: com apenas balanços de matéria e a condição de equilíbrio (Raoult) o par x(T) é uma função de T, logo há uma relação T \mapsto x. Sem um balanço de energia (entalpias) o T real do separador não é matematicamente único a priori — seria fixado pelo balanço de energia (e condições de entrada, ex.: temperatura / pressão de alimentação). Neste exercício, o procedimento padrão é reportar a temperatura de equilíbrio que satisfaz a condição y=0{,}75 pela Lei de Raoult; o número que achamos é o esperado para essa situação.

Passo 6

Temperatura antes da válvula de expansão (explicação prática e cálculo do ponto de bolha do alimento):
O enunciado pede “temperatura antes da válvula de expansão”. Em operação típica de flash por expansão, a alimentação chega como líquido saturado a uma pressão anterior (mais alta) e temperatura correspondente ao ponto de bolha nessa pressão; ao atravessar a válvula (expansão isentrópica/isentálpica aproximada) parte do líquido vaporiza e o sistema alcança a nova pressão (aqui 1 atm) e a nova temperatura de equilíbrio. Se o enunciado não dá pressão inicial ou entalpia, um procedimento usual é calcular o ponto de bolha da alimentação à pressão do drum (quando a alimentação é entregue como líquido saturado imediatamente antes da válvula); assim vou calcular o ponto de bolha da mistura com composição \displaystyle z_F=0{,}60 a \displaystyle P=1\\ \mathrm{atm} (isto é, a temperatura em que a mistura começa a ferver à pressão atmosférica). Essa temperatura é o que normalmente se entendeu como “temperatura antes da válvula” em muitos exercícios didáticos (ou, ao menos, dá uma estimativa prática).
A condição de ponto de bolha (bubble point) para a mistura líquida de composição x_i=z_F é
\sum_i x_i K_i(T) = 1 \quad\text{ou}\quad z_F K_M(T) + (1-z_F)K_W(T) = 1.
Vamos achar T_b tal que isso ocorra. Já calculámos em 65{^\circ}\mathrm{C} o somatório e obtivemos <1, então precisamos de T maior. Faço duas avaliações e interpolação:
  • Em T_C=73{,}5{^\circ}\mathrm{C} calculei rapidamente K_M\approx 1{,}379 e K_W\approx 0{,}359, daí
0{,}6\cdot 1{,}379 + 0{,}4\cdot 0{,}359 \approx 0{,}971\\ (<1).
  • Em T_C=75{^\circ}\mathrm{C} encontrei K_M\approx 1{,}458 e K_W\approx 0{,}3783, daí
0{,}6\cdot1{,}458 + 0{,}4\cdot0{,}3783 \approx 1{,}0261\\ (>1).
Interpolando linearmente entre 73{,}5{^\circ}\mathrm{C} e 75{^\circ}\mathrm{C} para o somatório atingir 1, obtemos
\boxed{T_{\text{antes da válvula}}\approx 74{,}3{^\circ}\mathrm{C}.}á
Interpretação prática: a alimentação, se estava como líquido saturado ao entrar na válvula, teria temperatura próxima a 74{,}3{^\circ}\mathrm{C} (ponto de bolha da mistura à pressão do drum). Depois da expansão e formação do vapor, o drum fica em torno de 65{^\circ}\mathrm{C} e as duas correntes equilibram-se.

Passo 7

Parte (d): verificar se é possível obter \displaystyle y_D=0{,}90 com a mesma alimentação e o mesmo separador (mesma pressão).
Vamos analisar a condição de existência física. Relembre a fórmula derivada no Passo 3 para x em função de T e de y:
x(T) = \frac{y\,K_W(T)}{K_M(T)(1-y) + y\,K_W(T)}.
Para que o balanço dê uma fração de líquido 0\le L \le F, a condição (a partir de L = F(z_F - y)/(x-y)) reduz-se a exigir que x \le z_F quando y>z_F (faça a conta dos sinais: se y>z_F precisa-se x<y e para L\le F é necessário x\le z_F). Então, para y=0{,}90 e z_F=0{,}60 precisamos encontrar algum T tal que
x(T) \le 0{,}60.
A condição analítica pode ser manipulada. A desigualdade x\le z_F é equivalente (fazendo algebra) a uma condição sobre a razão
r(T):=\frac{K_W(T)}{K_M(T)} = \frac{p_W^{\text{sat}}(T)}{p_M^{\text{sat}}(T)}.
Manipulando:
x \le z_F \quad\Longleftrightarrow\quad r \le \frac{z_F(1-y)}{y(1-z_F)}.
Para z_F=0{,}60 e y=0{,}90 isso dá
r \le \frac{0{,}60\times 0{,}10}{0{,}90\times 0{,}40} = \frac{0{,}06}{0{,}36} \approx 0{,}1667.
Logo precisamos de temperaturas onde r(T)\le 0{,}1667. Agora verifiquemos se isso é plausível numericamente: com as equações de Antoine usadas, calculei alguns r(T) típicos:
  • Em 30{^\circ}\mathrm{C}: p_M^{\text{sat}}\approx 160{,}5\\ \mathrm{mmHg}, p_W^{\text{sat}}\approx 31{,}6\\ \mathrm{mmHg} r\approx 0{,}197.
  • Em 65{^\circ}\mathrm{C}: r\approx 0{,}246.
  • Em 10{^\circ}\mathrm{C}: r\approx 0{,}1695.
Observação: conforme variamos T dentro do intervalo prático, r(T) fica tipicamente em torno de 0{,}17 0{,}30 com esses parâmetros de Antoine; o menor valor de r que encontrei por inspeção prática (bem abaixo de 10{^\circ}\mathrm{C}) ainda é na vizinhança de 0{,}17, ligeiramente acima de 0{,}1667. Isso indica que NÃO existe temperatura prática para a qual r(T)\le 0{,}1667 com estes parâmetros: portanto não é possível que x\le 0{,}60 quando y=0{,}90.
Conclusão física e didática:
  • Com uma única etapa de flash (um único separador) à pressão atmosférica, usando alimentação \displaystyle z_F=0{,}60, NÃO é possível obter um destilado com \displaystyle y_D=0{,}90. O motivo é puramente termodinâmico: o equilíbrio vapor–líquido (Raoult + Antoine) não permite vapor tão rico em metanol a partir dessa alimentação numa só etapa — a relação entre as pressões de vapor dos componentes não permite tal enriquecimento em uma única etapa.
  • Observação importante: variar a pressão do separador NÃO muda a razão r(T)=p_W^{\text{sat}}/p_M^{\text{sat}} porque K_i=p_i^{\text{sat}}/P e a divisão K_W/K_M cancela a P. Logo mudar a pressão sozinha não ajuda.
  • O que SÍ funcionaria para atingir \displaystyle y_D=0{,}90:
    • Usar várias etapas de equilíbrio (uma coluna de destilação com refluxo) — é a solução normal: mais de uma etapa permite enriquecimento sucessivo.
    • Usar destilação azeotrópica/extrativa ou adicionar um agente que mude a volatilidade relativa.
    • Repetir flashes em série com recompressão do vapor/condensação (esquema multi-stage).
    • Em resumo: com o mesmo só um flash, não; é preciso mudar o esquema (mais estágios) ou o método (adição de solvente, coluna de retificação, etc.).

Resposta

L\approx 46{,}14\\ \mathrm{mol/h},\quad V\approx 53{,}86\\ \mathrm{mol/h}.
T_{\text{sep}}\approx 65{^\circ}\mathrm{C}.
T_{\text{antes da válvula}}\approx 74{,}3{^\circ}\mathrm{C}.á
Não é possível obter y_D=0{,}90 por um único flash à mesma pressão com a alimentação z_F=0{,}60; para alcançar 90\% seria necessário mudar o esquema (por exemplo, usar uma coluna com várias etapas/refluxo, ou destilação azeotrópica/extrativa, etc.).

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