Calcule o estado base (ψ₀) usando a condiçäo de aniquilação (a₋ ψ₀=0).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se o estado base
do oscilador harmônico unidimensional usando a condição de aniquilação . - Informação dada: a condição
. - Vou trabalhar na representação de posição, isto é, vou encontrar
. - Síntese do objetivo: transformar a condição
numa equação diferencial para , resolvê‑la e normalizar a solução.
Passo 2
Definições e notação (explicando cada símbolo):
-
é o operador posição; em representação de posição age por multiplicação por . -
é o operador momento, que em representação de posição vale
onde
é a constante de Planck reduzida e
a unidade imaginária.
- O operador aniquilação (na convenção padrão) é
onde
é a massa e
a frequência angular do oscilador.
- A condição que devemos impor é
Explicação rápida: essa condição diz que
é aniquilada por
, ou seja, é o estado de menor energia do oscilador.
Passo 3
Aplicar a condição
substituindo
por
:
Agora simplificamos o termo com
. Note que
, então esse termo fica
A equação fica então
Passo 4
Transformar a equação em uma forma mais simples e obter a equação diferencial padrão:
- Dividindo ambos os lados por
obtemos
- Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável. Reescrevendo:
- Integrando ambos os lados em
:
- Logo a solução geral (não normalizada) é uma gaussiana
onde
é uma constante complexa de normalização (podemos escolher
real e positivo sem perda de generalidade, pois a fase global não altera o estado).
Passo 5
Normalização da solução (cálculo da constante
):
- Condição de normalização:
. - Substituindo
dá
- Usamos a integral gaussiana conhecida
Aqui
, então a integral é
.
- Portanto
- Escolhendo
real e positivo (fase global = 0),