Calcule o estado base (ψ₀) usando a condiçäo de aniquilação (a₋ ψ₀=0).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se o estado base \psi_0 do oscilador harmônico unidimensional usando a condição de aniquilação \hat a\,\psi_0=0.
  • Informação dada: a condição \hat a\,\psi_0=0.
  • Vou trabalhar na representação de posição, isto é, vou encontrar \psi_0(x)=\langle x|\psi_0\rangle.
  • Síntese do objetivo: transformar a condição \hat a\,\psi_0=0 numa equação diferencial para \psi_0(x), resolvê‑la e normalizar a solução.

Passo 2

Definições e notação (explicando cada símbolo):
  • \hat x é o operador posição; em representação de posição age por multiplicação por x.
  • \hat p é o operador momento, que em representação de posição vale
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx},
onde \hbar é a constante de Planck reduzida e i a unidade imaginária.
  • O operador aniquilação (na convenção padrão) é
\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\,\hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\,\hat p,
onde m é a massa e \omega a frequência angular do oscilador.
  • A condição que devemos impor é
\hat a\,\psi_0(x)=0.
Explicação rápida: essa condição diz que \psi_0 é aniquilada por \hat a, ou seja, é o estado de menor energia do oscilador.

Passo 3

Aplicar a condição \hat a\,\psi_0=0 substituindo \hat p por -i\hbar \,d/dx:
\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\,x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\right)\psi_0(x)=0.
Agora simplificamos o termo com \hat p. Note que i(-i\hbar)=\hbar, então esse termo fica
\frac{\hbar}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\frac{d\psi_0}{dx} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\frac{d\psi_0}{dx}.
A equação fica então
\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\,x\,\psi_0(x) + \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,\frac{d\psi_0}{dx}=0.

Passo 4

Transformar a equação em uma forma mais simples e obter a equação diferencial padrão:
  • Dividindo ambos os lados por \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} obtemos
\frac{d\psi_0}{dx} + \frac{m\omega}{\hbar}\,x\,\psi_0(x)=0.
  • Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável. Reescrevendo:
\frac{1}{\psi_0}\frac{d\psi_0}{dx} = -\frac{m\omega}{\hbar}x.
  • Integrando ambos os lados em x:
\ln\psi_0(x) = -\frac{m\omega}{2\hbar}x^2 + \text{constante}.
  • Logo a solução geral (não normalizada) é uma gaussiana
\psi_0(x) = C\,\exp\!\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right),
onde C é uma constante complexa de normalização (podemos escolher C real e positivo sem perda de generalidade, pois a fase global não altera o estado).

Passo 5

Normalização da solução (cálculo da constante C):
  • Condição de normalização: \int_{-\infty}^{\infty}|\psi_0(x)|^2\,dx = 1.
  • Substituindo \psi_0(x)=C\exp\!\left(-\dfrac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)
|C|^2 \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{m\omega}{\hbar}x^2\right) dx = 1.
  • Usamos a integral gaussiana conhecida
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\quad(\text{para }\alpha>0).
Aqui \alpha=\dfrac{m\omega}{\hbar}, então a integral é \sqrt{\dfrac{\pi\hbar}{m\omega}}.
  • Portanto
|C|^2 \sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega}} = 1 \quad\Rightarrow\quad |C|^2 = \sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}.
  • Escolhendo C real e positivo (fase global = 0),
C = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}.

Resposta

\psi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\!\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)

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