Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (\mathrm{k}=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}). Em um certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração são \mathrm{x}=0, 1 \mathrm{~m}, \mathrm{v}=-13,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{a}=-123 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2. Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento, (d) escreva as equações de movimento. ((a) \mathbf{5 , 5 8 ~ H z}; (b) \mathbf{0 , 3 2 5 ~ k g}; (c) \mathbf{0 , 4 0 0 ~ m} ) (divida a equação da posição pela da aceleração )

Passo 1

O enunciado dá, num certo instante t, as seguintes grandezas (medidas em relação à posição de equilíbrio):
  • constante da mola: k=400\\ \mathrm{N/m}.
  • posição: x=0,1\\ \mathrm{m}.
  • velocidade: v=-13,6\\ \mathrm{m/s}.
  • aceleração: a=-123\\ \mathrm{m/s^2}.
O que pede:
(a) a frequência de oscilação f (em Hz);
(b) a massa m do bloco;
(c) a amplitude A do movimento;
(d) as equações de movimento (posição, velocidade e aceleração no tempo).
Vou usar apenas as relações do movimento harmônico simples (MHS) e resolvê-las passo a passo.

Passo 2

Usar a relação entre aceleração e posição para MHS:
a(t)=-\omega^2 x(t),
onde \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}). No instante dado vale
a=-\omega^2 x.
Substituindo os valores fornecidos:
-123 = -\omega^2\cdot 0,1.
Isolando \omega^2 e \omega:
\omega^2=\frac{123}{0,1}=1230, \qquad \omega=\sqrt{1230}\approx 35,071\\ \mathrm{rad/s}.
A relação entre \omega e a frequência f é
\omega=2\pi f \quad\Rightarrow\quad f=\frac{\omega}{2\pi}.
Logo
f=\frac{35,071}{2\pi}\approx 5,586\\ \mathrm{Hz}\approx 5,58\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Determinar a massa usando a relação entre k, m e \omega:
\omega^2=\frac{k}{m}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{k}{\omega^2}.
Substituindo:
m=\frac{400}{1230}\approx 0,3252\\ \mathrm{kg}\approx 0,325\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Encontrar a amplitude A. Em MHS a velocidade e a posição estão relacionadas por
v^2=\omega^2\bigl(A^2-x^2\bigr),
que vem de v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}. Isolando A^2:
A^2=x^2+\frac{v^2}{\omega^2}.
Substituindo os valores ( x=0,1, v=-13,6 e \omega^2=1230):
A^2=0,1^2+\frac{(-13,6)^2}{1230}=0,01+\frac{184,96}{1230}\approx 0,01+0,1503\approx 0,1603.
Portanto
A=\sqrt{0,1603}\approx 0,4004\\ \mathrm{m}\approx 0,400\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a fase inicial \varphi (no instante em que os dados foram medidos). Se escolhermos a origem dos tempos de forma que esse instante seja t=0, escrevemos
x(0)=x_0=A\cos\varphi,\qquad v(0)=v_0=-A\omega\sin\varphi.
Usando A\approx0,4004, x_0=0,1 e v_0=-13,6:
\cos\varphi=\frac{x_0}{A}\approx\frac{0,1}{0,4004}\approx 0,2497,
- A\omega\sin\varphi = v_0 \quad\Rightarrow\quad \sin\varphi = -\frac{v_0}{A\omega} = -\frac{-13,6}{0,4004\cdot 35,071}\approx \frac{13,6}{14,046}\approx 0,9681.
Temos \cos\varphi>0 e \sin\varphi>0, portanto \varphi está no primeiro quadrante. Assim
\varphi\approx \operatorname{arccos}(0,2497)\approx 1,318\\ \mathrm{rad}.
(Consistência: \sin(1,318)\approx 0,9681, ok.)

Passo 6

Escrever as equações de movimento (tomando t=0 no instante dos dados):
posição:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)=0,4004\cos\bigl(35,071\,t+1,318\bigr)\\ \mathrm{m}.
velocidade (derivando):
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)=-0,4004\cdot 35,071\\ \sin\bigl(35,071\,t+1,318\bigr)\\ \mathrm{m/s},
que numericamente é
v(t)\approx -14,046\sin\bigl(35,071\,t+1,318\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
aceleração (derivando novamente ou usando a=-\omega^2 x):
a(t)=-\omega^2 A\cos(\omega t+\varphi)=-1230\cdot 0,4004\cos\bigl(35,071\,t+1,318\bigr)\\ \mathrm{m/s^2},
ou de forma compacta
a(t)=-\omega^2 x(t)=-1230\,x(t).

Passo 7

Verificação rápida pedida (“divida a equação da posição pela da aceleração”): como a(t)=-\omega^2 x(t) temos
\frac{x(t)}{a(t)}=-\frac{1}{\omega^2}\approx -\frac{1}{1230}\approx -0,000813\\ \mathrm{s^2}.
No instante dado isso confere com x/a=0,1/(-123)\approx -0,000813. Tudo coerente.

Resposta

(a) f\approx 5,58\\ \mathrm{Hz}
(b) m\approx 0,325\\ \mathrm{kg}
(c) A\approx 0,400\\ \mathrm{m}
(d)
x(t)=0,4004\cos\bigl(35,071\,t+1,318\bigr)\\ \mathrm{m}
v(t)\approx -14,046\sin\bigl(35,071\,t+1,318\bigr)\\ \mathrm{m/s}
a(t)=-1230\cos\bigl(35,071\,t+1,318\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}

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