Considere um fio carregado infinito com densidade linear de carga
positiva e constante.
(a)
Usando argumentos de simetria, discuta e desenhe o sentido do campo elétrico gerado a uma distância perpendicular
do fio.
(b)
Usando a Lei de Gauss, encontre o módulo do campo elétrico a uma distância perpendicular
do fio. Expresse seu resultado em termos de
e
.
(c)
Considere agora um segundo fio infinito carregado com densidade de carga negativa
e constante. Se este fio for colocado numa posição paralela ao primeiro, a uma distância d, encontre o campo elétrico resultante em um ponto no plano que contém os dois fios a uma distância
entre os fios. Expresse seu resultado em termos de
e
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Vou identificar com clareza o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
-
Dados fornecidos:
- Um fio infinito e retilíneo com densidade linear de carga
, positiva e constante. - Em (c) aparece um segundo fio infinito, paralelo ao primeiro, com densidade linear de carga
. Os dois fios estão separados por uma distância .
- Um fio infinito e retilíneo com densidade linear de carga
-
O que o enunciado pede:
- (a) Usando argumentos de simetria, discutir e desenhar (descrever) o sentido do campo elétrico gerado a uma distância perpendicular
do fio (para o fio com ). - (b) Usando a Lei de Gauss, encontrar o módulo do campo elétrico a uma distância perpendicular
do fio, em termos de e . - (c) Com dois fios paralelos, um com
e outro com , colocados a distância entre si, encontrar o campo elétrico resultante em um ponto que está no plano contendo os fios e situado no ponto médio entre eles (logo a distância de cada fio até o ponto é ). Expressar em termos de e .
- (a) Usando argumentos de simetria, discutir e desenhar (descrever) o sentido do campo elétrico gerado a uma distância perpendicular
Passo 2
Discussão por simetria do campo elétrico gerado por um fio infinito carregado (resposta ao item (a)).
-
Ideia física e propriedades simétricas:
- O fio é infinito e uniforme: se eu deslocar ao longo do eixo do fio, nada muda (simetria de translação ao longo do eixo). Logo, o campo elétrico em um ponto não pode depender da coordenada ao longo do fio.
- O fio é retilíneo e o problema é invariante por rotações ao redor do eixo do fio (simetria cilíndrica). Logo, o módulo do campo depende apenas da distância perpendicular
ao fio, não do ângulo azimutal. - Não há razão para existir componente do campo ao longo do eixo do fio (pois isso quebraria a simetria de translação). Também não há razão para existir componente azimutal (tangencial) porque uma rotação em torno do fio não altera a configuração.
-
Conclusão qualitativa:
- O campo elétrico em um ponto a distância perpendicular
do fio está dirigido radialmente (no plano perpendicular ao fio), apontando diretamente para longe do fio se (cargas positivas repelem) ou diretamente para o fio se (cargas negativas atraem). - Em coordenadas cilíndricas, escrevemos a direção como o versor radial
. Para , tem direção (para fora).
- O campo elétrico em um ponto a distância perpendicular
-
Desenho/descrição do sentido (texto substituindo desenho):
- Imagine um fio vertical (eixo
). Em um círculo de raio centrado no fio, em cada ponto do círculo o campo aponta radialmente para fora (se ), com a mesma magnitude. Assim as linhas de campo são linhas retas saindo radialmente do eixo (no corte transversal aparecem como setas radiais uniformes).
- Imagine um fio vertical (eixo
Passo 3
Apresentação da Lei de Gauss e escolha da superfície de Gauss.
- Lei de Gauss (forma integral): para qualquer superfície fechada
onde
é a carga total contida no interior da superfície e
é a permissividade elétrica do vácuo. Aqui
é o vetor área local, apontando para fora.
- Escolha da superfície de Gauss:
- Para um fio infinito com simetria cilíndrica, a escolha natural é um cilindro coaxial de raio
e comprimento . - Motivação: sobre a superfície lateral do cilindro o campo tem direção radial (paralela ao vetor área lateral), e o módulo é constante (pois pela simetria depende só de
); nas tampas do cilindro (superfícies planas perpendiculares ao fio) o campo é paralelo às tampas (ou seja, perpendicular ao vetor área das tampas), então o fluxo por elas é zero.
- Para um fio infinito com simetria cilíndrica, a escolha natural é um cilindro coaxial de raio
Passo 4
Cálculo do fluxo pelo cilindro e aplicação da Lei de Gauss (parte (b)).
-
Carga contida pelo cilindro:
- A carga linear é
(carga por unidade de comprimento), logo a carga total no comprimento é
- A carga linear é
-
Fluxo elétrico pela superfície do cilindro:
- Fluxo total é soma do fluxo pela superfície lateral mais o fluxo pelas tampas.
- Pela simetria, o campo
é radial e tem módulo constante na superfície lateral; o vetor área lateral tem módulo integrado resulta . Assim o fluxo pela lateral é
- Nas tampas superiores/inferiores o vetor área é paralelo ao eixo do fio, enquanto
é radial (perpendicular ao eixo), portanto nas tampas; logo seu fluxo é zero.
-
Aplicando a Lei de Gauss:Cancelando
dos dois lados (válido para qualquer ), obtemos -
Interpretação:
- O módulo do campo diminui com
. - A direção, para
, é radial para fora; representando vetorialmente:
- O módulo do campo diminui com
Passo 5
Comentário didático sobre o resultado e plausibilidade (verificação rápida).
- Observações didáticas:
- A dependência
é plausível: em 3D uma carga pontual dá ; uma linha infinita de carga efetivamente “espalha” o campo em círculos, levando a um decaimento mais lento . - A unidade está coerente:
, , então , unidade de campo elétrico.
- A dependência
Passo 6
Resolução do item (c): dois fios paralelos com cargas
e
, campo no ponto médio entre eles.
-
Configuração geométrica e escolha de coordenadas:
- Coloco os fios paralelos ao eixo
. - Posiciono o fio com carga
na coordenada e o fio com carga em . O ponto pedido é o ponto médio, que fica em (distância de cada fio). - Notar que a escolha de colocar
à esquerda e à direita é apenas uma conveniência; o resultado vetorial final será do lado do campo apontando do positivo para o negativo.
- Coloco os fios paralelos ao eixo
-
Campo produzido por cada fio no ponto médio:
- Distância de cada fio até o ponto é
. - Módulo do campo produzido por uma linha com densidade
a distância é . - Para o fio com
(à esquerda), o campo no ponto médio aponta para fora do fio (pois ), ou seja, aponta para a direita ( ). - Módulo:
- Para o fio com
(à direita), o campo no ponto médio aponta em direção ao fio (pois cargas negativas atraem), ou seja, também aponta para a direita ( ). O módulo é (usando ):
- Distância de cada fio até o ponto é
-
Soma vetorial:
- Como ambos os campos estão ambos na mesma direção (
), somam-se:
- Em forma vetorial, direcionado do fio positivo para o fio negativo:
ondeé o versor que aponta do fio com para o fio com . - Como ambos os campos estão ambos na mesma direção (
Resposta
(a) O campo elétrico é radial no plano perpendicular ao fio e tem sentido para fora do fio (isto é, na direção de
) quando
.
(b) .
(c) (direção do fio positivo para o fio negativo).
(b)
(c)