(2,5) Considere um fio carregado infinito com densidade linear de carga \lambda positiva e constante.
(a) (\mathbf{0 , 5}) Usando argumentos de simetria, discuta e desenhe o sentido do campo elétrico gerado a uma distância perpendicular \rho do fio.
(b) (1,5) Usando a Lei de Gauss, encontre o módulo do campo elétrico a uma distância perpendicular \rho do fio. Expresse seu resultado em termos de \boldsymbol{\lambda} e \boldsymbol{\rho}.
(c) (\mathbf{0 , 5}) Considere agora um segundo fio infinito carregado com densidade de carga negativa (-\lambda) e constante. Se este fio for colocado numa posição paralela ao primeiro, a uma distância d, encontre o campo elétrico resultante em um ponto no plano que contém os dois fios a uma distância \mathrm{d} / 2 entre os fios. Expresse seu resultado em termos de \boldsymbol{\lambda} e \boldsymbol{d}.

Passo 1

Vou identificar com clareza o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
  • Dados fornecidos:
    • Um fio infinito e retilíneo com densidade linear de carga \lambda, positiva e constante.
    • Em (c) aparece um segundo fio infinito, paralelo ao primeiro, com densidade linear de carga -\lambda. Os dois fios estão separados por uma distância d.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Usando argumentos de simetria, discutir e desenhar (descrever) o sentido do campo elétrico gerado a uma distância perpendicular \rho do fio (para o fio com \lambda>0).
    • (b) Usando a Lei de Gauss, encontrar o módulo do campo elétrico a uma distância perpendicular \rho do fio, em termos de \lambda e \rho.
    • (c) Com dois fios paralelos, um com \lambda e outro com -\lambda, colocados a distância d entre si, encontrar o campo elétrico resultante em um ponto que está no plano contendo os fios e situado no ponto médio entre eles (logo a distância de cada fio até o ponto é d/2). Expressar em termos de \lambda e d.

Passo 2

Discussão por simetria do campo elétrico gerado por um fio infinito carregado (resposta ao item (a)).
  • Ideia física e propriedades simétricas:
    • O fio é infinito e uniforme: se eu deslocar ao longo do eixo do fio, nada muda (simetria de translação ao longo do eixo). Logo, o campo elétrico em um ponto não pode depender da coordenada ao longo do fio.
    • O fio é retilíneo e o problema é invariante por rotações ao redor do eixo do fio (simetria cilíndrica). Logo, o módulo do campo depende apenas da distância perpendicular \rho ao fio, não do ângulo azimutal.
    • Não há razão para existir componente do campo ao longo do eixo do fio (pois isso quebraria a simetria de translação). Também não há razão para existir componente azimutal (tangencial) porque uma rotação em torno do fio não altera a configuração.
  • Conclusão qualitativa:
    • O campo elétrico em um ponto a distância perpendicular \rho do fio está dirigido radialmente (no plano perpendicular ao fio), apontando diretamente para longe do fio se \lambda>0 (cargas positivas repelem) ou diretamente para o fio se \lambda<0 (cargas negativas atraem).
    • Em coordenadas cilíndricas, escrevemos a direção como o versor radial \hat{\boldsymbol{\rho}}. Para \lambda>0, \mathbf{E} tem direção \hat{\boldsymbol{\rho}} (para fora).
  • Desenho/descrição do sentido (texto substituindo desenho):
    • Imagine um fio vertical (eixo z). Em um círculo de raio \rho centrado no fio, em cada ponto do círculo o campo aponta radialmente para fora (se \lambda>0), com a mesma magnitude. Assim as linhas de campo são linhas retas saindo radialmente do eixo (no corte transversal aparecem como setas radiais uniformes).

Passo 3

Apresentação da Lei de Gauss e escolha da superfície de Gauss.
  • Lei de Gauss (forma integral): para qualquer superfície fechada
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo. Aqui d\mathbf{A} é o vetor área local, apontando para fora.
  • Escolha da superfície de Gauss:
    • Para um fio infinito com simetria cilíndrica, a escolha natural é um cilindro coaxial de raio \rho e comprimento L.
    • Motivação: sobre a superfície lateral do cilindro o campo tem direção radial (paralela ao vetor área lateral), e o módulo é constante (pois pela simetria depende só de \rho); nas tampas do cilindro (superfícies planas perpendiculares ao fio) o campo é paralelo às tampas (ou seja, perpendicular ao vetor área das tampas), então o fluxo por elas é zero.

Passo 4

Cálculo do fluxo pelo cilindro e aplicação da Lei de Gauss (parte (b)).
  • Carga contida pelo cilindro:
    • A carga linear é \lambda (carga por unidade de comprimento), logo a carga total no comprimento L é
    Q_{\text{int}}=\lambda L.
  • Fluxo elétrico pela superfície do cilindro:
    • Fluxo total é soma do fluxo pela superfície lateral mais o fluxo pelas tampas.
    • Pela simetria, o campo \mathbf{E} é radial e tem módulo constante E(\rho) na superfície lateral; o vetor área lateral tem módulo dA= \rho\, d\varphi\, dz integrado resulta 2\pi\rho L. Assim o fluxo pela lateral é
    \Phi_{\text{lateral}}=E(\rho)\cdot (2\pi\rho L).
    • Nas tampas superiores/inferiores o vetor área é paralelo ao eixo do fio, enquanto \mathbf{E} é radial (perpendicular ao eixo), portanto \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nas tampas; logo seu fluxo é zero.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
    \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(\rho)\,2\pi\rho L=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
    Cancelando L dos dois lados (válido para qualquer L), obtemos
    E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho}.
  • Interpretação:
    • O módulo do campo diminui com 1/\rho.
    • A direção, para \lambda>0, é radial para fora; representando vetorialmente:
    \mathbf{E}(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad(\text{para }\lambda>0).

Passo 5

Comentário didático sobre o resultado e plausibilidade (verificação rápida).
  • Observações didáticas:
    • A dependência 1/\rho é plausível: em 3D uma carga pontual dá 1/r^2; uma linha infinita de carga efetivamente “espalha” o campo em círculos, levando a um decaimento mais lento 1/\rho.
    • A unidade está coerente: [\lambda]=\text{C/m}, [\varepsilon_0]=\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2), então [\lambda/(2\pi\varepsilon_0\rho)]=\text{N/C}, unidade de campo elétrico.

Passo 6

Resolução do item (c): dois fios paralelos com cargas \lambda e -\lambda, campo no ponto médio entre eles.
  • Configuração geométrica e escolha de coordenadas:
    • Coloco os fios paralelos ao eixo z.
    • Posiciono o fio com carga +\lambda na coordenada x=-\tfrac{d}{2} e o fio com carga -\lambda em x=+\tfrac{d}{2}. O ponto pedido é o ponto médio, que fica em x=0 (distância d/2 de cada fio).
    • Notar que a escolha de colocar +\lambda à esquerda e -\lambda à direita é apenas uma conveniência; o resultado vetorial final será do lado do campo apontando do positivo para o negativo.
  • Campo produzido por cada fio no ponto médio:
    • Distância de cada fio até o ponto é r=\tfrac{d}{2}.
    • Módulo do campo produzido por uma linha com densidade \lambda' a distância r é \dfrac{|\lambda'|}{2\pi\varepsilon_0 r}.
    • Para o fio com \lambda (à esquerda), o campo no ponto médio aponta para fora do fio (pois \lambda>0), ou seja, aponta para a direita ( +\hat{\mathbf{x}}).
      • Módulo:
      E_{+}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 (d/2)}=\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 d}.
    • Para o fio com -\lambda (à direita), o campo no ponto médio aponta em direção ao fio (pois cargas negativas atraem), ou seja, também aponta para a direita ( +\hat{\mathbf{x}}). O módulo é (usando |-\lambda|=\lambda): E_{-}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 (d/2)}=\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 d}.
  • Soma vetorial:
    • Como ambos os campos estão ambos na mesma direção ( +\hat{\mathbf{x}}), somam-se:
    E_{\text{total}}=E_{+}+E_{-}=2\cdot\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 d}=\frac{2\lambda}{\pi\varepsilon_0 d}.
    • Em forma vetorial, direcionado do fio positivo para o fio negativo:
    \mathbf{E}_{\text{total}}=\frac{2\lambda}{\pi\varepsilon_0 d}\,\hat{\mathbf{x}},
    onde \hat{\mathbf{x}} é o versor que aponta do fio com \lambda para o fio com -\lambda.

Resposta

(a) O campo elétrico é radial no plano perpendicular ao fio e tem sentido para fora do fio (isto é, na direção de \hat{\boldsymbol{\rho}}) quando \lambda>0.
(b) \displaystyle E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho}.
(c) \displaystyle \mathbf{E}_{\text{total}}=\frac{2\lambda}{\pi\varepsilon_0 d}\,\hat{\mathbf{x}} (direção do fio positivo para o fio negativo).

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