Calcule uma estimativa para
, de modo que
seja a solução exata do PVI:
utilizando o Método de Runge-Kutta de
Ordem, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma estimativa de $ y(1,6) $ onde $ y(x) $ é a solução de uma equação diferencial inicializada em $ y(1) = \frac{1}{2} $. Vamos usar o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem com um passo $ h = 0,2 $. O conteúdo envolve métodos numéricos para resolver equações diferenciais, especificamente o Runge-Kutta, que é super útil quando não dá para resolver a equação de forma exata.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem. Esse método nos ajuda a aproximar a solução de uma equação diferencial usando quatro “inclinações” (k1, k2, k3, k4) em cada passo. A ideia é combinar essas inclinações de maneira ponderada para obter uma estimativa mais precisa do próximo valor de $ y $.
Passo 3
Começamos no ponto inicial $ x_0 = 1 $ com $ y_0 = \frac{1}{2} $. Nosso objetivo é chegar até $ x = 1,6 $ com passos de $ h = 0,2 $. Isso significa que vamos dar três passos: de 1 para 1,2, de 1,2 para 1,4 e de 1,4 para 1,6.
Passo 4
Primeiro Passo: de $ x = 1 $ para $ x = 1,2 $
Calculamos as inclinações:
Agora, atualizamos $ y_1 $:
Passo 5
Segundo Passo: de $ x = 1,2 $ para $ x = 1,4 $
Agora, $ x_1 = 1,2 $ e $ y_1 \approx 0,5460 $.
Calculamos as inclinações:
Atualizamos $ y_2 $:
Passo 6
Terceiro Passo: de $ x = 1,4 $ para $ x = 1,6 $
Agora, $ x_2 = 1,4 $ e $ y_2 \approx -0,3425 $.
Calculamos as inclinações:
Atualizamos $ y_3 $:
Resposta
Assim, a estimativa para $ y(1,6) $ usando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem com $ h = 0,2 $ é aproximadamente $ -1,4718 $.