Use 0 Método de Euler Modificado, com
, para encontrar uma aproximação para y(3) soluctio exata do PVI:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método de Euler Modificado para aproximar o valor de $ y(3) $ na equação diferencial $ y’ = \cos(y) + x $ com a condição inicial $ y(2) = 2 $. A gente vai usar um passo $ h = 0,25 $. Para isso, vamos seguir os passos do método de Euler Modificado, que é uma técnica para resolver equações diferenciais quando a solução exata é difícil de encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde vamos calcular $ y $. Começamos em $ x_0 = 2 $ com $ y_0 = 2 $. Com um passo $ h = 0,25 $, os próximos pontos serão:
- $ x_1 = 2 + 0,25 = 2,25 $
- $ x_2 = 2,25 + 0,25 = 2,50 $
- $ x_3 = 2,50 + 0,25 = 2,75 $
- $ x_4 = 2,75 + 0,25 = 3,00 $
Vamos calcular $ y $ nesses pontos usando o Método de Euler Modificado.
Passo 3
Para cada passo, usamos o seguinte procedimento:
- Previsão (Euler padrão):
- Correção:
Aqui, $ f(x, y) = \cos(y) + x $. Vamos aplicar isso para cada passo.
Passo 4
Passo de $ x_0 = 2,00 $ para $ x_1 = 2,25 $:
- Previsão:
- Correção:
Passo 5
Passo de $ x_1 = 2,25 $ para $ x_2 = 2,50 $:
- Previsão:
- Correção:
Passo 6
Passo de $ x_2 = 2,50 $ para $ x_3 = 2,75 $:
- Previsão:
- Correção:
Resposta
Aproximadamente, $ y(3) $ é igual a 3,1880.