Use 0 Método de Euler Modificado, com h=0,25, para encontrar uma aproximação para y(3) soluctio exata do PVI: y^prime=cos (y)+x e y(2)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Método de Euler Modificado para aproximar o valor de $ y(3) $ na equação diferencial $ y’ = \cos(y) + x $ com a condição inicial $ y(2) = 2 $. A gente vai usar um passo $ h = 0,25 $. Para isso, vamos seguir os passos do método de Euler Modificado, que é uma técnica para resolver equações diferenciais quando a solução exata é difícil de encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde vamos calcular $ y $. Começamos em $ x_0 = 2 $ com $ y_0 = 2 $. Com um passo $ h = 0,25 $, os próximos pontos serão:
  • $ x_1 = 2 + 0,25 = 2,25 $
  • $ x_2 = 2,25 + 0,25 = 2,50 $
  • $ x_3 = 2,50 + 0,25 = 2,75 $
  • $ x_4 = 2,75 + 0,25 = 3,00 $
Vamos calcular $ y $ nesses pontos usando o Método de Euler Modificado.

Passo 3

Para cada passo, usamos o seguinte procedimento:
  1. Previsão (Euler padrão): y^* = yn + h cdot f(xn, yn)
  2. Correção: yn+1 = yn + h2 [ f(xn, yn) + f(xn+1, y^*) ]
Aqui, $ f(x, y) = \cos(y) + x $. Vamos aplicar isso para cada passo.

Passo 4

Passo de $ x_0 = 2,00 $ para $ x_1 = 2,25 $:
  1. Previsão: x0 = 2,00
  2. Correção: x1 = 2,25 y^* = 2 + 0,25 cdot (cos(2) + 2) approx 2 + 0,25 cdot (-0,4161 + 2) = 2 + 0,25 cdot 1,5839 approx 2 + 0,3960 = 2,3960

Passo 5

Passo de $ x_1 = 2,25 $ para $ x_2 = 2,50 $:
  1. Previsão: x1 = 2,25
  2. Correção: x2 = 2,50 y^* = 2,3871 + 0,25 cdot (cos(2,3871) + 2,25) approx 2,3871 + 0,25 cdot (-0,7378 + 2,25) = 2,3871 + 0,25 cdot 1,5122 approx 2,3871 + 0,3781 = 2,7652

Passo 6

Passo de $ x_2 = 2,50 $ para $ x_3 = 2,75 $:
  1. Previsão: x2 = 2,50
  2. Correção: x3 = 2,75 y^* = 2,7732 + 0,25 cdot (cos(2,7732) + 2,50) approx 2,7732 + 0,25 cdot (-0,9325 + 2,50) = 2,7732 + 0,25 cdot 1,5675 approx 2,7732 + 0,3919 = 3,1651

Resposta

Aproximadamente, $ y(3) $ é igual a 3,1880.

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