Umı corpo com massa inicial de 200 Kg está em movimento sob a ação de uma força constante de 2000 N. Sabendo-se que esse corpo está perdendo 1 Kg de sua massa por segundo e considerando que a resistencia do ar é o dobro de sua velocidade e que o corpo está em repouso no instan que descreve a variação de sua velocidade é dada por:
Determine uma estimativa para velocidade do corpo c v^prime=2000-2 v200-t v(0)=0 forall t>0 no instante v(t), com intervalos de 0,25 segundos, usando o Método de Euler Modificado. Em seguida, sabendo-se que a solução exata do PVI acima é a função t=1 s, compare com a solução aproximada obtida anteriormente.

Passo 1

No enunciado temos um corpo de massa decrescente cujo PVI é
v' = 2000 - 2v200 - t, v(0)=0,
e queremos aproximar v(1) pelo Método de Euler Modificado (Heun) com passo h=0,25 s.

Passo 2

Definimos a função f(t,v)= 2000-2v200-t e o passo h=0,25. Em cada iteração calculamos
k1 = f(tn,vn), v^* = vn + h,k1, k2 = f(tn+h,v^*), vn+1 = vn + h2(k1+k2)

Passo 3

No intervalo [0,0,25]:
k1 = f(0,0)=2000200=10, v^*=0+0,25cdot10=2,5, k2 = f(0,25,2,5)=1995199,75approx9,9887, v(0,25)=0+0,125(10+9,9887)approx2,4986

Passo 4

No intervalo [0,25,0,50]:
k1=f(0,25,2,4986)approx9,9887, v^*=2,4986+0,25cdot9,9887approx4,9958, k2=f(0,50,4,9958)approx9,9749, v(0,50)approx2,4986+0,125(9,9887+9,9749)approx4,9940

Passo 5

No intervalo [0,50,0,75]:
k1=f(0,50,4,9940)approx9,9750, v^*=4,9940+0,25cdot9,9750approx7,4878, k2=f(0,75,7,4878)approx9,9625, v(0,75)approx4,9940+0,125(9,9750+9,9625)approx7,4862

Passo 6

No intervalo [0,75,1,00]:
k1=f(0,75,7,4862)approx9,9625, v^*=7,4862+0,25cdot9,9625approx9,9769, k2=f(1,00,9,9769)approx9,9500, v(1,00)approx7,4862+0,125(9,9625+9,9500)approx9,9753

Passo 7

A solução exata é v(1)=10·1−1^2/40=9,975. O valor aproximado pelo Método de Euler Modificado deu v(1)≈9,9753 m/s, com erro ≈2,9×10^{−4} m/s.

Resposta

O Método de Euler Modificado com h=0,25 s fornece v(1)≈9,9753 m/s, em boa concordância com o exato v(1)=9,975 m/s (erro≈2,9×10^{−4} m/s).

Exercícios relacionados