Calcule as integrais duplas abaixo.
$$ \iint_{D} \frac{x y{2}}{x{2}+1} d A, \quad R={(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, \quad-3 \leqslant y \leqslant 3})$
Passo 1
Vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de $ f(x, y) = \frac{x y{2}}{x{2}+1} $ sobre a região $ R $ que é definida por $ 0 \leqslant x \leqslant 1 $ e $ -3 \leqslant y \leqslant 3 $. Isso envolve o conteúdo de integrais duplas, onde vamos precisar configurar a integral corretamente e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como os limites para $ x $ e $ y $ são constantes, podemos escrever a integral como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em $ y $ e depois em $ x $, ou o contrário. Vamos optar por integrar em $ y $ primeiro.
Passo 3
A integral fica assim:
Aqui, estamos integrando a função $ \frac{x y{2}}{x{2}+1} $ primeiro em relação a $ y $, de $ -3 $ a $ 3 $, e depois em relação a $ x $, de $ 0 $ a $ 1 $.
Passo 4
Como $ x $ é tratado como uma constante na integral interna (a que está em $ y $), podemos fatorar $ \frac{x}{x^{2}+1} $ para fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral interna $ \int_{-3}^{3} y^{2} , dy $:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral interna na expressão original, temos:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral $ \int \frac{x}{x^{2}+1} , dx $. Para isso, usamos uma substituição simples:
Então,
Passo 8
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 1 $:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo 18 que tínhamos fatorado anteriormente:
Resposta
A integral dupla vale $ 9 \ln 2 $.