Calcule as integrais duplas abaixo.
$$ \iint_{D} \frac{x y{2}}{x{2}+1} d A, \quad R={(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, \quad-3 \leqslant y \leqslant 3})$

Passo 1

Vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de $ f(x, y) = \frac{x y{2}}{x{2}+1} $ sobre a região $ R $ que é definida por $ 0 \leqslant x \leqslant 1 $ e $ -3 \leqslant y \leqslant 3 $. Isso envolve o conteúdo de integrais duplas, onde vamos precisar configurar a integral corretamente e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como os limites para $ x $ e $ y $ são constantes, podemos escrever a integral como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em $ y $ e depois em $ x $, ou o contrário. Vamos optar por integrar em $ y $ primeiro.

Passo 3

A integral fica assim:
integral0^1 ( integral-3^3 x y^2x^2+1 , dy ) dx
Aqui, estamos integrando a função $ \frac{x y{2}}{x{2}+1} $ primeiro em relação a $ y $, de $ -3 $ a $ 3 $, e depois em relação a $ x $, de $ 0 $ a $ 1 $.

Passo 4

Como $ x $ é tratado como uma constante na integral interna (a que está em $ y $), podemos fatorar $ \frac{x}{x^{2}+1} $ para fora da integral:
x

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral interna $ \int_{-3}^{3} y^{2} , dy $:
integral-3^3 y^2 , dy

Passo 6

Substituindo o resultado da integral interna na expressão original, temos:
integral0^1 xx^2+1 times 18 , dx = 18 integral0^1 xx^2+1 , dx

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral $ \int \frac{x}{x^{2}+1} , dx $. Para isso, usamos uma substituição simples:
integral xx^2+1 , dx
Então,
Seja u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx

Passo 8

Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 1 $:
0

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo 18 que tínhamos fatorado anteriormente:
18 times 12 ln(2) = 9 ln(2)

Resposta

A integral dupla vale $ 9 \ln 2 $.

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