Neste exercício você irá determinar a solução do problema
(a) Verifique que neste caso não podemos aplicar diretamente a proposição 8.1 das notas de aula pois a solução não vale zero nos vértices do retângulo.
(b) Encontre uma função da forma
tal que
e
. Perceba que você deve apenas calcular as constantes.
(c) Chame de
à nova função incógnita
. Escreva o problema de Dirichlet que
satisfaz e resolva este problema.
(d) Escreva a expressão para
.
(b) Encontre uma função da forma
(c) Chame de
(d) Escreva a expressão para
Passo 1
O enunciado pede, passo a passo:
- (a) Verificar que não é possível aplicar diretamente a proposição indicada porque a solução não vale zero nos vértices.
- (b) Encontrar
tal que coincida com nos quatro vértices do quadrado . - (c) Definir
, escrever o problema de Dirichlet que satisfaz e resolver esse problema. - (d) Escrever a expressão final para
.
Informações dadas pelo enunciado (todas retiradas do enunciado):
- A equação a satisfazer no interior:
para . - Condições de contorno:
-
para . -
para . -
para . -
para .
-
Passo 2
(a) Calcular os valores de
nos quatro vértices para ver se todos são zero.
- Em
: usar por ou : - Em
: pela condição em , - Em
: pela condição em ou , (confere com em : .) - Em
: pela condição em ou , (confere com em : .)
Como os valores nos vértices são
, nem todos são zero. Portanto NÃO podemos aplicar diretamente uma proposição que exija que a solução valha zero nos quatro vértices.
Passo 3
(b) Procurar
que reproduza os valores de
nos vértices.
Impor as quatro condições (cada uma em um vértice):
Impor as quatro condições (cada uma em um vértice):
- Em
: . Logo - Em
: . Substituindo , - Em
: . Substituindo , - Em
: . Substituindo ,
Portanto os coeficientes são
.
Passo 4
Escrever explicitamente
com os coeficientes encontrados:
Uma observação útil (didática):
é uma função bilinear (linear em
e em
separadamente). Calcular suas derivadas segundas:
logo
. Assim
é harmônica e, por linearidade da equação de Laplace,
também será solução da equação homogênea.
Passo 5
(c) Definir
. Então no interior:
ou seja,
também satisfaz a equação de Laplace em
.
Calcular as condições de contorno para
(subtrair
dos dados de
):
- Em
: Aqui . Como , obtém-se - Em
: e . Portanto - Em
: - Em
: logo
Resumo do problema de Dirichlet para
:
Observação didática: como as condições de contorno são zero em
e
e não nulas apenas em
e
, é conveniente usar a linearidade e decompor
como soma de duas funções que resolvem problemas mais simples:
onde
-
tem apenas a condição não nula em : e zeras nas outras três arestas; -
tem apenas a condição não nula em : e zeras nas outras três arestas.
Passo 6
Resolver
. Método (separação de variáveis / expansão em seno no
):
Procuramos solução do tipo série
Explicação do formato:
-
garante as condições homogêneas . - A dependência em
com vem de resolver a equação separada e impondo ; a normalização por faz com que, ao avaliar em , a contribuição seja .
Impor a condição em
:
Logo os coeficientes
são os coeficientes da série de Fourier seno de
em
:
Como
é ortogonal, o integral é zero para
e para
:
pois
para inteiro
. Assim
para
e
.
Portanto a solução
reduz-se ao único modo
:
Passo 7
Resolver
. Método semelhante, agora expandindo em senos em
porque as condições não nulas estão nas arestas
-variáveis:
Procuramos
Este formato garante
(pois
) e
(pela escolha dos
).
Impor a condição em
:
Logo os coeficientes
são os coeficientes da série de Fourier seno de
:
Pela ortogonalidade, só
contribui. Para
:
Assim
para
e
.
Portanto
Passo 8
Somando as duas partes, obtemos
, ou seja
Verificações rápidas (didáticas):
- Em
a primeira parcela dá e a segunda dá zero, portanto como desejado. - Em
a segunda parcela dá e a primeira dá zero, portanto . - Em
ou ambas parcelas anulam-se, então satisfaz as condições homogêneas nessas arestas.
Passo 9
(d) Finalmente, recuperar
pela relação
. Não esquecer
.
Portanto a solução
é a soma de
e de
obtido acima.