Neste exercício você irá determinar a solução do problema
\begin{aligned} & \partial_{x}^{2} u+\partial_{y}^{2} u=0, \quad 0<x<1,0<y<1 ; \\\ & u(x, 0)=-1+x+2 \operatorname{sen}(5 \pi x), \quad u(x, 1)=2(x-1), \quad 0 \leq x \leq 1 ; \\\ & u(0, y)=-1-y, \quad u(1, y)=3 \operatorname{sen}(2 \pi y), \quad 0 \leq y \leq 1 . \end{aligned}
(a) Verifique que neste caso não podemos aplicar diretamente a proposição 8.1 das notas de aula pois a solução não vale zero nos vértices do retângulo.
(b) Encontre uma função da forma U(x, y)=c_{0}+c_{1} x+c_{2} y+c_{3} x y tal que U(0,0)=u(0,0), U(1,0)= u(1,0), U(0,1)=u(0,1) e U(1,1)=u(1,1). Perceba que você deve apenas calcular as constantes.
(c) Chame de v à nova função incógnita v(x, y)=u(x, y)-U(x, y). Escreva o problema de Dirichlet que v satisfaz e resolva este problema.
(d) Escreva a expressão para u.

Passo 1

O enunciado pede, passo a passo:
  • (a) Verificar que não é possível aplicar diretamente a proposição indicada porque a solução não vale zero nos vértices.
  • (b) Encontrar U(x,y)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}xy tal que U coincida com u nos quatro vértices do quadrado [0,1]\times[0,1].
  • (c) Definir v(x,y)=u(x,y)-U(x,y), escrever o problema de Dirichlet que v satisfaz e resolver esse problema.
  • (d) Escrever a expressão final para u.
Informações dadas pelo enunciado (todas retiradas do enunciado):
  • A equação a satisfazer no interior: \partial_{x}^{2}u+\partial_{y}^{2}u=0 para 0<x<1,\;0<y<1.
  • Condições de contorno:
    • u(x,0)=-1+x+2\operatorname{sen}(5\pi x) para 0\le x\le1.
    • u(x,1)=2(x-1) para 0\le x\le1.
    • u(0,y)=-1-y para 0\le y\le1.
    • u(1,y)=3\operatorname{sen}(2\pi y) para 0\le y\le1.

Passo 2

(a) Calcular os valores de u nos quatro vértices para ver se todos são zero.
  • Em (0,0): usar u(0,0) por u(x,0) ou u(0,y): u(0,0)=-1+0+2\operatorname{sen}(0)=-1.
  • Em (1,0): pela condição em y=0, u(1,0)=-1+1+2\operatorname{sen}(5\pi)=0+2\cdot0=0.
  • Em (0,1): pela condição em x=0 ou y=1, u(0,1)=-1-1=-2.(confere com u(x,1) em x=0: 2(0-1)=-2.)
  • Em (1,1): pela condição em y=1 ou x=1, u(1,1)=2(1-1)=0,(confere com u(1,y) em y=1: 3\operatorname{sen}(2\pi)=0.)
Como os valores nos vértices são (-1,0,-2,0), nem todos são zero. Portanto NÃO podemos aplicar diretamente uma proposição que exija que a solução valha zero nos quatro vértices.

Passo 3

(b) Procurar U(x,y)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}xy que reproduza os valores de u nos vértices.
Impor as quatro condições (cada uma em um vértice):
  • Em (0,0): U(0,0)=c_{0}=u(0,0)=-1. Logo c_{0}=-1.
  • Em (1,0): U(1,0)=c_{0}+c_{1}=u(1,0)=0. Substituindo c_{0}, -1+c_{1}=0\quad\Rightarrow\quad c_{1}=1.
  • Em (0,1): U(0,1)=c_{0}+c_{2}=u(0,1)=-2. Substituindo c_{0}, -1+c_{2}=-2\quad\Rightarrow\quad c_{2}=-1.
  • Em (1,1): U(1,1)=c_{0}+c_{1}+c_{2}+c_{3}=u(1,1)=0. Substituindo c_{0},c_{1},c_{2}, -1+1-1+c_{3}=0\quad\Rightarrow\quad -1+c_{3}=0\quad\Rightarrow\quad c_{3}=1.
Portanto os coeficientes são c_{0}=-1,\;c_{1}=1,\;c_{2}=-1,\;c_{3}=1.

Passo 4

Escrever explicitamente U com os coeficientes encontrados:
U(x,y)=-1+x-y+xy.
Uma observação útil (didática): U é uma função bilinear (linear em x e em y separadamente). Calcular suas derivadas segundas:
\partial_x^2 U=0,\qquad \partial_y^2 U=0,
logo \partial_x^2 U+\partial_y^2 U=0. Assim U é harmônica e, por linearidade da equação de Laplace, v=u-U também será solução da equação homogênea.

Passo 5

(c) Definir v(x,y)=u(x,y)-U(x,y). Então no interior:
\partial_x^2 v+\partial_y^2 v= \partial_x^2 u+\partial_y^2 u - (\partial_x^2 U+\partial_y^2 U)=0-0=0,
ou seja, v também satisfaz a equação de Laplace em 0<x<1,\;0<y<1.
Calcular as condições de contorno para v (subtrair U dos dados de u):
  • Em y=0: v(x,0)=u(x,0)-U(x,0).Aqui U(x,0)=-1+x. Como u(x,0)=-1+x+2\operatorname{sen}(5\pi x), obtém-se v(x,0)=2\operatorname{sen}(5\pi x).
  • Em y=1: U(x,1)=-1+x-1+ x = -2+2x,e u(x,1)=2(x-1)=2x-2. Portanto v(x,1)=(2x-2)-(-2+2x)=0.
  • Em x=0: U(0,y)=-1-y,\quad u(0,y)=-1-y \Rightarrow v(0,y)=0.
  • Em x=1: U(1,y)=-1+1-y+1\cdot y=0,\quad u(1,y)=3\operatorname{sen}(2\pi y),logo v(1,y)=3\operatorname{sen}(2\pi y).
Resumo do problema de Dirichlet para v:
\begin{aligned} &\partial_x^2 v+\partial_y^2 v=0,\quad 0<x<1,\;0<y<1;\\\ &v(x,0)=2\operatorname{sen}(5\pi x),\quad v(x,1)=0,\quad 0\le x\le1;\\\ &v(0,y)=0,\quad v(1,y)=3\operatorname{sen}(2\pi y),\quad 0\le y\le1. \end{aligned}
Observação didática: como as condições de contorno são zero em x=0 e y=1 e não nulas apenas em y=0 e x=1, é conveniente usar a linearidade e decompor v como soma de duas funções que resolvem problemas mais simples:
v(x,y)=v_{1}(x,y)+v_{2}(x,y),
onde
  • v_{1} tem apenas a condição não nula em y=0: v_{1}(x,0)=2\operatorname{sen}(5\pi x) e zeras nas outras três arestas;
  • v_{2} tem apenas a condição não nula em x=1: v_{2}(1,y)=3\operatorname{sen}(2\pi y) e zeras nas outras três arestas.

Passo 6

Resolver v_{1}. Método (separação de variáveis / expansão em seno no x):
Procuramos solução do tipo série
v_{1}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(n\pi x)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(n\pi(1-y)\big)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.
Explicação do formato:
  • \sin(n\pi x) garante as condições homogêneas v_{1}(0,y)=v_{1}(1,y)=0.
  • A dependência em y com \operatorname{sinh} vem de resolver a equação separada e impondo v_{1}(x,1)=0; a normalização por \operatorname{sinh}(n\pi) faz com que, ao avaliar em y=0, a contribuição seja A_{n}\sin(n\pi x).
Impor a condição em y=0:
v_{1}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(n\pi x)=2\operatorname{sen}(5\pi x).
Logo os coeficientes A_n são os coeficientes da série de Fourier seno de g(x)=2\operatorname{sen}(5\pi x) em (0,1):
A_{n}=2\int_{0}^{1}g(x)\sin(n\pi x)\,dx = 2\int_{0}^{1}2\operatorname{sen}(5\pi x)\sin(n\pi x)\,dx.
Como \{\sin(n\pi x)\} é ortogonal, o integral é zero para n\neq5 e para n=5:
A_{5}=2\int_{0}^{1}2\sin^{2}(5\pi x)\,dx =4\cdot\frac{1}{2}=2,
pois \displaystyle\int_{0}^{1}\sin^{2}(k\pi x)\,dx=\tfrac{1}{2} para inteiro k\neq0. Assim A_n=0 para n\neq5 e A_{5}=2.
Portanto a solução v_{1} reduz-se ao único modo n=5:
v_{1}(x,y)=2\sin(5\pi x)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(5\pi(1-y)\big)}{\operatorname{sinh}(5\pi)}.

Passo 7

Resolver v_{2}. Método semelhante, agora expandindo em senos em y porque as condições não nulas estão nas arestas y-variáveis:
Procuramos
v_{2}(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}B_{m}\,\frac{\operatorname{sinh}(m\pi x)}{\operatorname{sinh}(m\pi)}\sin(m\pi y).
Este formato garante v_{2}(0,y)=0 (pois \operatorname{sinh}(0)=0) e v_{2}(x,0)=v_{2}(x,1)=0 (pela escolha dos \sin(m\pi y)).
Impor a condição em x=1:
v_{2}(1,y)=\sum_{m=1}^{\infty}B_{m}\sin(m\pi y)=3\operatorname{sen}(2\pi y).
Logo os coeficientes B_m são os coeficientes da série de Fourier seno de h(y)=3\operatorname{sen}(2\pi y):
B_{m}=2\int_{0}^{1}h(y)\sin(m\pi y)\,dy = 2\int_{0}^{1}3\sin(2\pi y)\sin(m\pi y)\,dy.
Pela ortogonalidade, só m=2 contribui. Para m=2:
B_{2}=2\int_{0}^{1}3\sin^{2}(2\pi y)\,dy =6\cdot\frac{1}{2}=3.
Assim B_m=0 para m\neq2 e B_2=3.
Portanto
v_{2}(x,y)=3\,\frac{\operatorname{sinh}(2\pi x)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(2\pi y).

Passo 8

Somando as duas partes, obtemos v(x,y)=v_{1}(x,y)+v_{2}(x,y), ou seja
v(x,y)=2\sin(5\pi x)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(5\pi(1-y)\big)}{\operatorname{sinh}(5\pi)}\;+\;3\frac{\operatorname{sinh}(2\pi x)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(2\pi y).
Verificações rápidas (didáticas):
  • Em y=0 a primeira parcela dá 2\sin(5\pi x) e a segunda dá zero, portanto v(x,0)=2\sin(5\pi x) como desejado.
  • Em x=1 a segunda parcela dá 3\sin(2\pi y) e a primeira dá zero, portanto v(1,y)=3\sin(2\pi y).
  • Em x=0 ou y=1 ambas parcelas anulam-se, então v satisfaz as condições homogêneas nessas arestas.

Passo 9

(d) Finalmente, recuperar u pela relação u=U+v. Não esquecer U(x,y)=-1+x-y+xy.
Portanto a solução u(x,y) é a soma de U e de v obtido acima.

Resposta

u(x,y)=-1+x-y+xy +2\sin(5\pi x)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\big(5\pi(1-y)\big)}{\operatorname{sinh}(5\pi)} +3\frac{\operatorname{sinh}(2\pi x)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(2\pi y).

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