Calcule, se existir, cada um dos limites
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
Informações dadas:
- A função é a razão de dois polinômios
. - O ponto onde aproximamos é
.
O objetivo é determinar o valor do limite quandose aproxima de .
Passo 2
Vamos testar a substituição direta para ver se a expressão está definida em
. Calculando numerador e denominador em
:
Resultado: ao substituir
obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o limite apenas por substituição direta; é preciso manipular a expressão.
Passo 3
Explicando a ideia usada agora (aula rápida): quando aparece a indeterminação
em uma razão de polinômios, uma técnica padrão é fatorar numerador e denominador para ver se há fatores comuns que podem ser cancelados. Se conseguirmos cancelar um fator que zera em
, teremos uma expressão equivalente em todo ponto próximo de
(exceto exatamente em
), e então podemos calcular o limite por substituição no quociente simplificado. Isso corresponde a remover uma descontinuidade “removível”.
Passo 4
Vamos fatorar passo a passo os polinômios.
Fatorando o numerador
: procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
. Logo,
Fatorando o denominador
: procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
. Logo,
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a função equivalente em todo ponto próximo de
(exceto no próprio
):
Observação importante: o cancelamento é válido somente para
. Mas, para cálculo de limite, isso é suficiente: o limite depende do comportamento quando
se aproxima de
, não do valor exatamente em
.
Passo 6
Agora usamos propriedades dos limites: se duas funções são iguais em todo ponto de uma vizinhança de
exceto possivelmente em
próprio, então têm o mesmo limite quando
. A função simplificada
é um quociente de polinômios cujo denominador em
vale
, então é contínua em
. Portanto podemos calcular o limite por substituição direta:
Passo 7
Interpretação final (rápida e motivadora): a indeterminação inicial
foi removida ao fatorar e cancelar o fator comum
. O limite existe porque as duas laterais (direita e esquerda) tendem ao mesmo valor
. Então a descontinuidade em
é do tipo removível — se quisesse definir a função contínua no ponto, bastaria atribuir o valor
em
.