Calcule, se existir, cada um dos limites
(b) \lim _{t \rightarrow-1} \frac{t^{2}+6 t+5}{t^{2}-3 t-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{t\to-1}\frac{t^{2}+6t+5}{t^{2}-3t-4}.
Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios \dfrac{t^{2}+6t+5}{t^{2}-3t-4}.
  • O ponto onde aproximamos é t=-1.
    O objetivo é determinar o valor do limite quando t se aproxima de -1.

Passo 2

Vamos testar a substituição direta para ver se a expressão está definida em t=-1. Calculando numerador e denominador em t=-1:
\text{numerador} = (-1)^{2}+6(-1)+5 = 1-6+5 = 0,
\text{denominador} = (-1)^{2}-3(-1)-4 = 1+3-4 = 0.
Resultado: ao substituir t=-1 obtemos a forma 0/0, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o limite apenas por substituição direta; é preciso manipular a expressão.

Passo 3

Explicando a ideia usada agora (aula rápida): quando aparece a indeterminação 0/0 em uma razão de polinômios, uma técnica padrão é fatorar numerador e denominador para ver se há fatores comuns que podem ser cancelados. Se conseguirmos cancelar um fator que zera em t=-1, teremos uma expressão equivalente em todo ponto próximo de -1 (exceto exatamente em -1), e então podemos calcular o limite por substituição no quociente simplificado. Isso corresponde a remover uma descontinuidade “removível”.

Passo 4

Vamos fatorar passo a passo os polinômios.
Fatorando o numerador t^{2}+6t+5: procuramos dois números cuja soma seja 6 e cujo produto seja 5. Esses números são 1 e 5. Logo,
t^{2}+6t+5=(t+1)(t+5).
Fatorando o denominador t^{2}-3t-4: procuramos dois números cuja soma seja -3 e cujo produto seja -4. Esses números são -4 e 1. Logo,
t^{2}-3t-4=(t-4)(t+1).

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original:
\frac{t^{2}+6t+5}{t^{2}-3t-4}=\frac{(t+1)(t+5)}{(t-4)(t+1)}.
Para t\neq-1 podemos cancelar o fator comum (t+1), obtendo a função equivalente em todo ponto próximo de -1 (exceto no próprio -1):
\frac{(t+1)(t+5)}{(t-4)(t+1)}=\frac{t+5}{t-4}\qquad\text{(para }t\neq-1\text{)}.
Observação importante: o cancelamento é válido somente para t\neq-1. Mas, para cálculo de limite, isso é suficiente: o limite depende do comportamento quando t se aproxima de -1, não do valor exatamente em -1.

Passo 6

Agora usamos propriedades dos limites: se duas funções são iguais em todo ponto de uma vizinhança de -1 exceto possivelmente em -1 próprio, então têm o mesmo limite quando t\to-1. A função simplificada \dfrac{t+5}{t-4} é um quociente de polinômios cujo denominador em t=-1 vale -5\neq0, então é contínua em t=-1. Portanto podemos calcular o limite por substituição direta:
\lim_{t\to-1}\frac{t+5}{t-4}=\frac{-1+5}{-1-4}=\frac{4}{-5}=-\frac{4}{5}.

Passo 7

Interpretação final (rápida e motivadora): a indeterminação inicial 0/0 foi removida ao fatorar e cancelar o fator comum (t+1). O limite existe porque as duas laterais (direita e esquerda) tendem ao mesmo valor -\tfrac{4}{5}. Então a descontinuidade em t=-1 é do tipo removível — se quisesse definir a função contínua no ponto, bastaria atribuir o valor -\tfrac{4}{5} em t=-1.

Resposta

-\dfrac{4}{5}

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