1. Calcule, se existir, a integral integral0^+infty e^-xraiz1-e^-2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral imprópria
integral0^+infty e^-xraiz1-e^-2x,dx
O conteúdo envolve mudança de variável em integrais impróprias e reconhecimento de uma integral tipo arco-seno. Vamos usar a substituição ,t=e^-x,.

Passo 2

Fazendo t=e^-x, temos
dt = -e^-x,dx Longrightarrow dx = -dtt
Quando x=0, t=e^0=1. Quando xto+infty, t=e^-xto0.

Passo 3

Substituindo na integral,
integral0^+infty e^-xraiz1-e^-2x,dx = integralt=1^t=0 traiz1-t^2,gl(-dttgr) = integral1^0 -dtraiz1-t^2 = integral0^1 dtraiz1-t^2

Passo 4

Reconhecemos
integral0^1 dtraiz1-t^2
como a definição de arcsin(t) avaliada de 0 a 1. Logo,
integral0^1 dtraiz1-t^2 = l[arcsin(t)r]0^1 = arcsin(1)-arcsin(0) = pi2-0 = pi2

Resposta

pi2

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