1. Um sólido tem como base a região circular do plano x y delimitada pelo gráfico de x^2+y^2=a^2, com a>0. Ache o volume do sólido, se toda seção transversa por um plano perpendicular ao eixo- x é um triângulo equilátero com um lado na base do referido sólido.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido cuja base é o disco (x,y)mid x^2+y^2<= a^2 no plano xy. Toda seção perpendicular ao eixo x é um triângulo equilátero com um lado nesse disco. Vamos usar o método de seções transversais: calcular a área da seção em x e depois integrar em x de -a a a.

Passo 2

Para um x fixo, a intersecção do disco com o plano x=constante é o segmento de reta em y de extremos
y=pmraiza^2-x^2,
logo o comprimento desse segmento (que é o lado do triângulo) é
L(x)=2raiza^2-x^2

Passo 3

A área de um triângulo equilátero de lado L é
A=raiz34L^2
Substituindo L=L(x), obtemos
A(x)=raiz34l(2raiza^2-x^2r)^2 =raiz3,l(a^2-x^2r)

Passo 4

O volume do sólido é a integral das áreas das seções de -a a a:
V=integral-a^aA(x),dx =integral-a^araiz3,(a^2-x^2),dx
Como o integrando é função par, isso vale
V=2raiz3integral0^a(a^2-x^2),dx

Passo 5

Calculemos a integral:
integral0^a(a^2-x^2),dx =l[a^2x-tfracx^33r]0^a =a^3-tfraca^33 =tfrac2a^33
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V=2raiz3cdottfrac2a^33 =tfrac4raiz33,a^3

Resposta

O volume do sólido é 4raiz33,a^3.

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