- Um sólido tem como base a região circular do plano
delimitada pelo gráfico de
, com
. Ache o volume do sólido, se toda seção transversa por um plano perpendicular ao eixo-
é um triângulo equilátero com um lado na base do referido sólido.
Passo 1
O enunciado descreve um sólido cuja base é o disco
no plano
. Toda seção perpendicular ao eixo
é um triângulo equilátero com um lado nesse disco. Vamos usar o método de seções transversais: calcular a área da seção em
e depois integrar em
de
a
.
Passo 2
Para um
fixo, a intersecção do disco com o plano
é o segmento de reta em
de extremos
logo o comprimento desse segmento (que é o lado do triângulo) é
Passo 3
A área de um triângulo equilátero de lado
é
Substituindo
, obtemos
Passo 4
O volume do sólido é a integral das áreas das seções de
a
:
Como o integrando é função par, isso vale
Passo 5
Calculemos a integral:
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Resposta
O volume do sólido é
.