Calcule (se existir) lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x), em cada item abaixo.
f(x)=1-5 x^2+x^39+x-x^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x) para a função f(x)=1-5x^2+x^39+x-x^3. O conteúdo aqui é cálculo de limites no infinito para funções racionais, e vamos precisar comparar os graus dos polinômios e seus coeficientes principais.

Passo 2

Observando os polinômios, vemos que o numerador tem grau 3 (termo x^3) e o denominador também tem grau 3 (termo -x^3). Quando o grau do numerador e do denominador é o mesmo, o limite no infinito tende à razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Para deixar isso claro, fatoramos x^3 no numerador e no denominador:
f(x)=x^3l(1-tfrac5x+tfrac1x^3r)x^3l(-1+tfrac1x^2+tfrac9x^3r)

Passo 3

Ao simplificar o x^3 e tomar xtopminfty, todos os termos do tipo 1/x, 1/x^2 e 1/x^3 vão a zero. Ficamos com
limxtopminftyf(x)=1-1=-1

Passo 4

Portanto, ambos os limites existem e valem -1.

Resposta

limxto+inftyf(x)=-1 e limxto-inftyf(x)=-1.

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