Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f
f(x, y)=1+raiz9 x^2+4 y^2

Passo 1

A função é f(x,y)=1+√{9x²+4y²}, ou seja, estamos lidando com curvas de nível e com o esboço da superfície resultante. Para resolver, vamos usar o conceito de curva de nível: f(x,y)=k gera uma curva em (x,y) para cada valor de k.

Passo 2

Começamos impondo f(x,y)=k. Isso dá 1+√{9x²+4y²}=k. Isolando a raiz temos √{9x²+4y²}=k−1. Ao elevar ao quadrado obtemos 9x²+4y²=(k−1)², que é a equação de uma elipse no plano xy.

Passo 3

A equação 9x²+4y²=(k−1)² pode ser reescrita como x²l(k-13r)²+y²l(k-12r)²=1²²²². Assim, para cada nível k>1 temos uma elipse com semieixo maior a_x=(k−1)/3 ao longo de x e semieixo menor a_y=(k−1)/2 ao longo de y.

Passo 4

Para esboçar, escolha alguns níveis k, por exemplo k=2,3,4. No plano z=k plote as elipses correspondentes: em z=2, elipse de eixos (1/3,1/2); em z=3, elipse de eixos (2/3,1); etc. Conforme k cresce, as elipses se ampliam de forma linear.

Passo 5

Juntando as elipses em diferentes alturas z=k>1, vemos que a superfície completa é a parte superior de um cone elíptico com vértice em (0,0,1). Geometricamente, f gera a superfície z=1+√{9x²+4y²} para z≥1.

Resposta

O gráfico de f é a porção superior do cone elíptico dado por (z-1)^2=9x^2+4y^2 com z\ge1, e suas curvas de nível são elipses 9x²+4y²=(k−1)² no plano z=k.

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