Calcule (se existir) lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x), em cada item abaixo.
f(x)=raizx^4+3 x^2+5.

Passo 1

Estamos com a função f(x)=raizx^4+3x^2+5 e queremos calcular os limites limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x). O conteúdo aqui envolve limites de funções polinomiais e técnicas de fatorar a maior potência de x dentro da raiz para simplificar.

Passo 2

Dentro da raiz, o termo de maior ordem é x^4. Fatorando x^4, temos:
raizx^4+3x^2+5=raizx^4l(1+tfrac3x^2+tfrac5x^4r)
Aplicando que raizAB=raiz A,raiz B e que raizx^4=|x^2|, obtemos:
$$
f(x)=|x2|\sqrt{1+\tfrac{3}{x2}+\tfrac{5}{x^4}}.
$$

Passo 3

Para xto+infty, temos |x^2|=x^2 e os termos 3/x^2 e 5/x^4 tendem a zero. Assim, raiz1+3/x^2+5/x^4to1 e
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyx^2cdot1=+infty
Para xto-infty, como x^2 é sempre não negativo, continua |x^2|=x^2 e o mesmo raciocínio dentro da raiz se aplica. Logo,
limxto-inftyf(x)=+infty

Resposta

limxto+inftyf(x)=+infty e limxto-inftyf(x)=+infty.

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