Considere se
se
. .
Resolva o PVI:
.
Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. O
é uma função que muda de valor dependendo de
: é
quando
e
quando
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação diferencial geral:
. No nosso caso,
e
. O fator integrante é dado por
. Então, vamos calcular:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso nos permite reescrever a esquerda da equação como uma derivada:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Precisamos lidar com
que é uma função por partes. Vamos dividir a solução em dois intervalos:
e
.
Para
:
Então,
Aplicando a condição inicial
:
Então, para
:
Passo 6
Para
:
Vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes ou fórmula de integrais de função exponencial multiplicada por cosseno.
A integral de
é:
Então,
Portanto,
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a constante
para
. Para isso, garantimos que a solução seja contínua em
. Ou seja, o valor de
para
se aproximando de
pela esquerda deve ser igual ao valor se aproximando pela direita.
Usando a solução para
:
E usando a solução para
:
Sabemos que
e
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é dada por: