Considere se f(t)=r0, 3 cos t, se . .
Resolva o PVI: t >= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo y' + y = f(t) com a condição inicial y(0) = 5. O f(t) é uma função que muda de valor dependendo de t: é 0 quando t < pi e 3cos t quando t >= pi. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação diferencial geral: y' + P(t)y = Q(t). No nosso caso, P(t) = 1 e Q(t) = f(t). O fator integrante é dado por e^integral P(t)dt. Então, vamos calcular:
mu(t) = e^integral 1,dt = e^t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t):
e^ty' + e^ty = e^tf(t)
Isso nos permite reescrever a esquerda da equação como uma derivada:
ddt(e^ty) = e^tf(t)

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
e^ty = integral e^tf(t),dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Precisamos lidar com f(t) que é uma função por partes. Vamos dividir a solução em dois intervalos: t < pi e t >= pi.
Para t < pi:
f(t) = 0, então a equação fica:
e^ty = integral 0,dt + C Rightarrow e^ty = C
Então,
y(t) = Ce^-t
Aplicando a condição inicial y(0) = 5:
5 = Ce^0 Rightarrow C = 5
Então, para t < pi:
y(t) = 5e^-t

Passo 6

Para t >= pi:
f(t) = 3cos t, então a equação fica:
e^ty = integral 3e^tcos t,dt + C
Vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes ou fórmula de integrais de função exponencial multiplicada por cosseno.
A integral de e^tcos t,dt é:
integral e^tcos t,dt = e^t2(cos t + sin t) + C
Então,
integral 3e^tcos t,dt = 3e^t2(cos t + sin t) + C
Portanto,
e^ty = 3e^t2(cos t + sin t) + C
Dividindo ambos os lados por e^t:
y(t) = 32(cos t + sin t) + Ce^-t

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a constante C para t >= pi. Para isso, garantimos que a solução seja contínua em t = pi. Ou seja, o valor de y para t se aproximando de pi pela esquerda deve ser igual ao valor se aproximando pela direita.
Usando a solução para t < pi:
y(pi^-) = 5e^-pi
E usando a solução para t >= pi:
y(pi^+) = 32(cos pi + sin pi) + Ce^-pi
Sabemos que cos pi = -1 e sin pi = 0, então:
5e^-pi = 32(-1) + Ce^-pi
Resolvendo para C:
5e^-pi + 32 = Ce^-pi Rightarrow C = 5 + 32e^pi

Resposta

A solução do PVI é dada por:
y(t) = 5e^-t, & se t < pi, 32(cos t + sin t) + (5 + 32e^pi)e^-t, & se t >= pi

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