Calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y), onde
f(x, y)=cll (xx^2+y^2, x y, x+y) & , se & (x, y) neq(0,0) (0,0,0) & , se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede a existência do limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
onde
f(x,y)= l(tfracxx^2+y^2,,x,y,,x+yr),&se (x,y)neq(0,0), (0,0,0),&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo é limite de função vetorial em R^2. Para existir o limite vetorial, cada componente deve ter limite finito em (0,0).

Passo 2

Analisamos as componentes duas e três de f. Para (x,y)to(0,0):
– Segunda componente:
lim(x,y)to(0,0)x,y = 0,
pois lvert x,yrvert <= lVert(x,y)rVert^2to0.
– Terceira componente:
lim(x,y)to(0,0)(x+y) = 0,
já que cada termo x e y tende a zero.

Passo 3

Agora a primeira componente
g(x,y)=xx^2+y^2
Para ver se lim(x,y)to(0,0)g(x,y) existe, escolhemos caminhos:
– Se y=0, então g(x,0)=tfracxx^2=tfrac1x, que diverge para +infty se xto0^+ e para -infty se xto0^-.
– Se y=mx com mneq0, então
g(x,mx) =xx^2+m^2x^2 =1x(1+m^2),
que também diverge ao aproximar de (0,0).
Em qualquer caso não há valor finito único.

Passo 4

Como a primeira componente não tem limite finito em (0,0), o vetor f(x,y) não pode convergir a (0,0,0) nem a nenhum outro ponto.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados