EXEMPLO 2.1.2 f(x, y, z)=cll(e^x-1, y(x-1)x^2-1, x cos (y^2-z)) & , se & (x, y, z) neq(1,2,1) (0,0,0) & , se & (x, y, z)=(1,2,1), é contínua em (1, 2, 1) ?
Solução: Temos,
(i) f(1,2,1)=(0,0,0), logo f(1,2,1) existe;
(ii) Temos,
lim (x, y, z) (1,2,1) f(x, y, z) & =(lim (x, y, z) (1,2,1) e^x-1, lim (x, y, z) (1,2,1) y(x-1)x^2-1, lim (x, y, z) (1,2,1) x cos (y^2-z)) & =(e^1-1, lim (x, y, z) (1,2,1) y(x-1)(x-1)(x+1), 1 cos (2^2-1)) & =(1, lim (x, y, z) (1,2,1) yx+1, cos (3)) & =(1, 21+1, cos (3))=(1,1, cos (3))
Isto é, lim (x, y, z) (1,2,1) f(x, y, z) existe.
(iii) lim (x, y, z) (1,2,1) f(x, y, z)=(1,1, cos (3)) neq(0,0,0)=f(1,2,1). Logo o item (iii) não é satisfeito. Portanto, f não é contínua em (1,2,1).

Passo 1

A função
Queremos verificar se . Pela definição de continuidade em várias variáveis, precisamos checar:
– que existe;
– que existe;
– e que os dois valores coincidam.

Passo 2

Pelo próprio enunciado,
f(1,2,1)=(0,0,0),
então a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Como f é de valor vetorial, calculamos o limite componente a componente:
lim(x,y,z)to(1,2,1)f(x,y,z) =l(lim(x,y,z)to(1,2,1)e^x-1,, lim(x,y,z)to(1,2,1)y(x-1)x^2-1,, lim(x,y,z)to(1,2,1)xcos(y^2 - z)r)

Passo 4

O primeiro componente é
lim(x,y,z)to(1,2,1)e^x-1 =e^1-1 =1
No segundo, note que x^2-1=(x-1)(x+1), logo
lim(x,y,z)to(1,2,1)y(x-1)x^2-1 =lim(x,y,z)to(1,2,1)y(x-1)(x-1)(x+1) =lim(x,y,z)to(1,2,1)yx+1 =22 =1

Passo 5

O terceiro componente é
lim(x,y,z)to(1,2,1)xcos(y^2 - z) =1cdotcos(2^2-1) =cos(3)

Passo 6

Combinando,
lim(x,y,z)to(1,2,1)f(x,y,z) =(1,1,cos(3)) neq(0,0,0) =f(1,2,1)
Logo a condição de igualdade entre limite e valor da função em (1,2,1) falha, e f não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função f não é contínua em (1,2,1).

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