Combine os métodos dos coeficientes indeterminados e variação dos parâmetros e use o princípio da superposição, para encontrar uma solução geral particular para
y^prime prime+2 y^prime+y=4 x^2-3+e^-xx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+2y'+y=4x^2-3+e^-xx
usando três ideias:
 1. Separar o termo não homogêneo em duas partes, 4x^2-3 e tfrace^-xx.
 2. Aplicar coeficientes indeterminados para a parte polinomial 4x^2-3.
 3. Usar variação de parâmetros para a parte tfrace^-xx.
Por fim, empregar o princípio da superposição para somar as duas soluções particulares e obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte polinomial 4x^2-3, proponho
yp1=Ax^2+Bx+C
Calculando derivadas:
yp1'=2Ax+B, yp1''=2A
Substituindo em y''+2y'+y:
2A+2(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+C) =Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C)
Isso deve igualar 4x^2-3, logo
A=4, 4A+B=0implies B=-16, 2A+2B+C=-3implies 8-32+C=-3implies C=21
Portanto
yp1=4x^2-16x+21

Passo 3

Para a parte tfrace^-xx, uso variação de parâmetros sobre a homogênea
yh = C1e^-x+C2xe^-x,
cuja base é y1=e^-x, y2=xe^-x. O Wronskiano é
W = e^-x & xe^-x - e^-x & (1-x)e^-x =e^-2x
A fórmula dá
yp2=-y1integraly2,(e^-x/x)W,dx + y2integraly1,(e^-x/x)W,dx
Como e^-x/xW=e^-x/xe^-2x=e^x/x, temos
integral!y2,e^-x/xW,dx =integral xe^-xcdote^xx,dx =integral 1,dx=x,
integral!y1,e^-x/xW,dx =integral e^-xcdote^xx,dx =integral 1x,dx=ln|x|
Logo
yp2 =-e^-x,x + xe^-xln|x| =x e^-xl(ln|x|-1r)

Passo 4

Pelo princípio da superposição, uma solução particular para todo o lado direito é
yp = yp1+yp2 =4x^2-16x+21 + x e^-xl(ln|x|-1r)
A solução geral da EDO é
y(x)=yh+yp =C1e^-x+C2xe^-x +4x^2-16x+21 + x e^-xl(ln|x|-1r)

Resposta

boxedy(x)=C1e^-x+C2xe^-x+4x^2-16x+21 + x e^-xl(ln|x|-1r)

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