Calcule, se existir:
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular, se existir,
As informações dadas são só a expressão
e o ponto de interesse
. O objetivo é determinar o valor do limite (ou dizer que não existe).
Passo 2
Estratégia simples e muito usada: fazer a substituição
. Assim, quando
temos
. Reescrevendo a expressão em termos de
obtemos
Como
temos
. Substituindo:
Portanto
desde que o limite
exista.
Passo 3
Agora precisamos entender e provar por que vale
Vou mostrar o argumento clássico usando a desigualdade trigonométrica e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
Para
vale a desigualdade geométrica conhecida
Dividindo tudo por
obtemos
Tomando recíprocos (mantendo a ordem invertida porque todos os termos são positivos), isto dá
Agora observe que
. Como
e
têm o mesmo limite quando
, pelo Teorema do Confronto segue que
Para o lado esquerdo (
) usa-se que a função
é par (ou seja,
), logo o limite à esquerda é o mesmo. Portanto o limite bilateral existe e
Passo 4
Voltando à igualdade obtida no Passo 2, substituímos o limite conhecido:
Passo 5
Conclusão final e motivação prática: a razão
cresce como
vezes a razão básica
quando
. A identidade limite
é uma ferramenta essencial em limites trigonométricos e aparece muitíssimo em provas — fica a dica de decorar e saber demonstrar rápida e claramente com o argumento do confronto.