Calcule, se existir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (5 x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular, se existir,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}.
As informações dadas são só a expressão \dfrac{\sin(5x)}{x} e o ponto de interesse x\to0. O objetivo é determinar o valor do limite (ou dizer que não existe).

Passo 2

Estratégia simples e muito usada: fazer a substituição \,u=5x. Assim, quando x\to0 temos u\to0. Reescrevendo a expressão em termos de u obtemos
\frac{\sin(5x)}{x} = \frac{\sin(u)}{x}.
Como u=5x temos x=\dfrac{u}{5}. Substituindo:
\frac{\sin(5x)}{x} = \frac{\sin(u)}{u/5} = 5\cdot\frac{\sin(u)}{u}.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x} = 5\cdot\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u},
desde que o limite \lim_{u\to0}\dfrac{\sin(u)}{u} exista.

Passo 3

Agora precisamos entender e provar por que vale
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.
Vou mostrar o argumento clássico usando a desigualdade trigonométrica e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
Para 0<u<\dfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica conhecida
\sin u < u < \tan u.
Dividindo tudo por \sin u>0 obtemos
1 < \frac{u}{\sin u} < \frac{1}{\cos u}.
Tomando recíprocos (mantendo a ordem invertida porque todos os termos são positivos), isto dá
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Agora observe que \lim_{u\to0^+}\cos u = 1. Como \cos u e 1 têm o mesmo limite quando u\to0^+, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{u\to0^+}\frac{\sin u}{u}=1.
Para o lado esquerdo ( u\to0^-) usa-se que a função u\mapsto \dfrac{\sin u}{u} é par (ou seja, \dfrac{\sin(-u)}{-u}=\dfrac{\sin u}{u}), logo o limite à esquerda é o mesmo. Portanto o limite bilateral existe e
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 4

Voltando à igualdade obtida no Passo 2, substituímos o limite conhecido:
\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x} = 5\cdot\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u} = 5\cdot 1 = 5.

Passo 5

Conclusão final e motivação prática: a razão \dfrac{\sin(5x)}{x} cresce como 5 vezes a razão básica \dfrac{\sin u}{u} quando u=5x. A identidade limite \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1 é uma ferramenta essencial em limites trigonométricos e aparece muitíssimo em provas — fica a dica de decorar e saber demonstrar rápida e claramente com o argumento do confronto.

Resposta

5

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