Considere as funções abaixo.
Mostre que a função
é inteira e determine
.
Mostre que a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) mostrar que
é inteira; (ii) determinar
. Informações dadas: a expressão explícita de
(polinômio de grau 3). Nada mais é fornecido. Vou trabalhar diretamente com a definição de derivada complexa e com regras básicas de derivação para polinômios.
Passo 2
O que significa dizer que
é inteira? Significa que
é diferenciável como função complexa em todo
(isto é, possui derivada complexa em cada ponto do plano). Uma maneira direta e elementar de mostrar isso para um polinômio é verificar que cada termo tem derivada em todo ponto e que a soma e multiplicação por constantes preservam diferenciabilidade.
Para entender melhor, lembro a definição de derivada complexa no ponto
: a derivada
(quando existir) é
onde
é complexo. Se esse limite existe para todo
, então
é inteira.
Passo 3
Vou calcular a derivada termo a termo usando a definição de limite para ver que cada termo é diferenciável em todo
.
- Para o termo
:
Tomando o limite
,
Logo o termo
tem derivada
em todo
.
- Para o termo
:
e esse quociente é constante, logo
Portanto
tem derivada
em todo
.
- Para a constante
:
então a derivada da constante é
.
Como cada termo tem derivada em todo
e a operação de soma preserva diferenciabilidade, a função
tem derivada em todo
. Isso mostra que
é inteira.
Passo 4
Pelo que calculamos termo a termo, a derivada de
é a soma das derivadas dos termos:
Uma maneira mais curta e prática (usada em prova) é aplicar a regra do “power rule” para polinômios:
e derivada de
é
. O cálculo acima justifica essa regra no caso
.
Passo 5
Resumo prático para a prova: polinômios complexos são inteiros porque cada monômio
é diferenciável em todo
(ver cálculo por limite) e a soma/escala preserva diferenciabilidade. Para derivar, aplicar a regra
termo a termo.