Considere as funções abaixo.
Mostre que a função
f(z)=z^{3}-5 z+2
é inteira e determine f^{\prime}(z).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=z^{3}-5z+2
e pede duas coisas: (i) mostrar que f é inteira; (ii) determinar f^{\prime}(z). Informações dadas: a expressão explícita de f (polinômio de grau 3). Nada mais é fornecido. Vou trabalhar diretamente com a definição de derivada complexa e com regras básicas de derivação para polinômios.

Passo 2

O que significa dizer que f é inteira? Significa que f é diferenciável como função complexa em todo \mathbb{C} (isto é, possui derivada complexa em cada ponto do plano). Uma maneira direta e elementar de mostrar isso para um polinômio é verificar que cada termo tem derivada em todo ponto e que a soma e multiplicação por constantes preservam diferenciabilidade.
Para entender melhor, lembro a definição de derivada complexa no ponto z: a derivada f'(z) (quando existir) é
f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},
onde h é complexo. Se esse limite existe para todo z\in\mathbb{C}, então f é inteira.

Passo 3

Vou calcular a derivada termo a termo usando a definição de limite para ver que cada termo é diferenciável em todo \mathbb{C}.
  1. Para o termo z^{3}:
\frac{(z+h)^{3}-z^{3}}{h}=\frac{3z^{2}h+3zh^{2}+h^{3}}{h}=3z^{2}+3zh+h^{2}.
Tomando o limite h\to0,
\lim_{h\to0}\bigl(3z^{2}+3zh+h^{2}\bigr)=3z^{2}.
Logo o termo z^{3} tem derivada 3z^{2} em todo z.
  1. Para o termo -5z:
\frac{-5(z+h)+5z}{h}=\frac{-5h}{h}=-5,
e esse quociente é constante, logo
\lim_{h\to0} -5 = -5.
Portanto -5z tem derivada -5 em todo z.
  1. Para a constante 2:
\frac{2-2}{h}=0,
então a derivada da constante é 0.
Como cada termo tem derivada em todo \mathbb{C} e a operação de soma preserva diferenciabilidade, a função f tem derivada em todo \mathbb{C}. Isso mostra que f é inteira.

Passo 4

Pelo que calculamos termo a termo, a derivada de f é a soma das derivadas dos termos:
f^{\prime}(z)=3z^{2}-5+0=3z^{2}-5.
Uma maneira mais curta e prática (usada em prova) é aplicar a regra do “power rule” para polinômios: \dfrac{d}{dz}z^{n}=n z^{n-1} e derivada de az+b é a. O cálculo acima justifica essa regra no caso n=3.

Passo 5

Resumo prático para a prova: polinômios complexos são inteiros porque cada monômio z^{n} é diferenciável em todo \mathbb{C} (ver cálculo por limite) e a soma/escala preserva diferenciabilidade. Para derivar, aplicar a regra \dfrac{d}{dz}z^{n}=n z^{n-1} termo a termo.

Resposta

f é inteira.
f^{\prime}(z)=3z^{2}-5

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