Calcule, se existir o limite dado.

Passo 1

O enunciado pede limxto1raiz[3]x^2-2raiz[3]x+1(x-1)^2. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de função que dá uma forma 0/0, e para resolver vamos usar fatoração de polinômio em termos de x^1/3 e, em seguida, a regra de l’Hôpital para avaliar o limite básico.

Passo 2

Observamos que
raiz[3]x^2=x^2/3 e raiz[3]x=x^1/3,
então o numerador fica
x^2/3-2x^1/3+1
Perceba que isto é exatamente o quadrado
(x^1/3-1)^2 =x^2/3-2x^1/3+1

Passo 3

Substituindo no quociente, temos
(x^1/3-1)^2(x-1)^2 =l(x^1/3-1,x-1r)^2

Passo 4

O limite original se torna o quadrado de
limxto1x^1/3-1x-1.
Note que ao substituir x=1 0/0, logo podemos aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 5

Pela regra de l’Hôpital,
derivada do numerador x^1/3-1 é tfrac13x^-2/3 e do denominador x-1 é 1. Então
limxto1x^1/3-1x-1 =limxto113x^-2/31 =13

Passo 6

Portanto, o limite original vale
l(tfrac13r)^2 =tfrac19

Resposta

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